Question

calcule a derivada das seguintes funções y= ( senx/1+cosx)^2

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf y = \left(\frac{senx}{1 + cosx} \right) {}^{2}$

Primeiramente devemos usar a regra da cadeia, mas antes de escrever os dados na mesma, vamos identificá-los:

$\sf y = \underbrace{\left(\frac{senx}{1 + cosx} \right)}_{u}{}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf y = u {}^{2} \: \: \: \: \: e\: \: \: \: \: u = \frac{senx}{1 + cosx}$

Agora vamos escrever a relação da regra da cadeia:

$\boxed{ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} . \frac{du}{dx} }$

Aplicando os dados na relação:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}u {}^{2} . \frac{d}{dx} \frac{senx}{1 + cosx} \\ \\ \sf\frac{dy}{dx} = 2u {}^{2 - 1} . \frac{d}{dx} \frac{senx}{1 + cosx} \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = 2u. \frac{d}{dx} \frac{senx}{1 + cosx} \: \: \: \: \:$

Para derivar aquela parte em que tem-se as funções seno e cosseno, devemos usar a regra do quociente, dada por:

$\boxed{\sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{h(x)}{g(x)} \right ] = \frac{ \frac{d}{dx}h(x).g(x) - h(x). \frac{d}{dx} g(x) }{ [g(x)] {}^{2} } }$

Digamos que as funções h e g sejam:

$\sf h(x) = senx \: \: \: e \: \: \: g(x) = 1 + cosx$

Substituindo os dados na regra:

$\sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{h(x)}{g(x)} \right ] = \frac{ \frac{d}{dx}senx.(1 + cosx) - senx. \frac{d}{dx}(1 + cosx) }{(1 + cosx) {}^{2} } \\ \\ \sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{h(x)}{g(x)} \right ] = \frac{cosx.(1 + cosx) - senx.(0 + [ - senx])}{(1 + cosx) {}^{2} } \\ \\ \sf \sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{h(x)}{g(x)} \right ] = \frac{cosx + cos {}^{2}x - 0 +s enx }{(1 + cosx) {}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{h(x)}{g(x)} \right ] = \frac{cosx + cos {}^{2}x + sen {}^{2} x }{( 1 + cosx) {}^{2} }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo esse dado na expressão da regra da cadeia:

$\sf \frac{dy}{dx} = 2u.\frac{cosx + cos {}^{2}x + sen {}^{2} x }{( 1 + cosx) {}^{2} }$

Expressando o valor de "u":

$\sf \frac{dy}{dx} = 2 \left( \frac{senx}{1 + cosx} \right).\frac{cosx + cos {}^{2}x + sen {}^{2} x }{( 1 + cosx) {}^{2} } \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{2senx}{1 + cosx} .\frac{cosx + cos {}^{2}x + sen {}^{2} x }{( 1 + cosx) {}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{2senx.cosx + 2senx.cos {}^{2} x + 2sen {}^{3} x}{(1 + cosx) {}^{3} } \: \: \:$

Ainda podemos fazer algumas coisas em relação a trigonometria, pois se você lembrar que:

$\sf sen(2x) = 2senx.cosx$

Então teremos:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{sen(2x) + 2senx.cosx.cosx + 2sen {}^{3}x }{(1 + cosx) {}^{3} } \\ \\ \boxed{\sf \frac{dy}{dx} = \frac{sen(2x) + sen(2x).cosx + 2sen {}^{3} x}{(1 + cosx) {}^{3} } } \: \: \:$

Espero ter ajudado