Question

Calcule a derivada da função no ponto dado. Dica: Utilize
lim f(x)- f(x0)/ x-x0

a f(x)= x^2-3 no ponto x=2
b f(x) = x^2+ 2x, no ponto x=3

Answer 1

Usaremos a definição de derivada de uma função para calcular a derivada de uma função,

$\displaystyle f'(x_0) = \lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

a) Dada a função f(x) = x²-3, obtemos

$\displaystyle f'(2) = \lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$

$\displaystyle f'(2) = \lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{x^2-3-1}{x-2} = \lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x-2}$

Como x²-4 = (x-2)(x+2), então,

$\displaystyle f'(2) = \lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim\limits_{x\rightarrow 2} x+2 = 4$

$f'(2) = 4$

b) Dada a função f(x) = x²+2x, obtemos

$\displaystyle f'(3) = \lim\limits_{x\rightarrow 3} \frac{f(x)-f(3)}{x-3}$

$\displaystyle f'(3) = \lim\limits_{x\rightarrow 3} \frac{x^2+2x-15}{x-3}$

Como x²+2x-15 = (x-3)(x+5), então,

$\displaystyle f'(3) = \lim\limits_{x\rightarrow 3} \frac{(x-3)(x+5)}{x-3} = \lim\limits_{x\rightarrow 3} x+5 = 8$

$f'(3) = 8$