Question

Calcule a derivada da função:

f(x) = e^x - e^-x / 2 (foto)

Answer 1

Calcular a derivada da função

     $f(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$


A função acima é conhecida como seno hiperbólico de x:

     $f(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}=\mathrm{senh\,}x$


Usando as regras de derivação para f, temos que

     $f'(x)=\bigg(\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\bigg)'\\\\\\ f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot (e^x-e^{-x})'$


     A derivada da soma é a soma das derivadas:

$f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot [(e^x)'-(e^{-x})']$


     A derivada de  $e^x$ é ela própria. Para derivar  $e^{-x},$  usamos a Regra da Cadeia, pois é uma função exponencial composta:

     $f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot [(e^x)'-(e^{-x})\cdot (-x)']\\\\\\ f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot [e^x-(e^{-x})\cdot (-1)]\\\\\\ f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot (e^x+e^{-x})\\\\\\ f'(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$

que é conhecida como cosseno hiperbólico de x.


     Resposta:    $f'(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh\,x$


Bons estudos! :-)