Question

Calcule a derivada da função √ + √ = 4

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyl{\dfrac{dy}{dx}=-\sqrt{\dfrac{y}{x}}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos a derivada da função $\sqrt{x}+\sqrt{y}=4$, devemos relembrar de algumas técnicas de derivação e do conceito de derivada implícita.

Observe que se derivarmos esta função em respeito a $x$, o comum a se pensar é que a derivada de $\sqrt{y}$ é igual a zero. Mas neste caso, $y$ está em função de $x$.

Então, lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Logo, derive ambos os lados da equação:

$(\sqrt{x}+\sqrt{y})'=4'$

Aplique a regra da soma e a regra da constante

$(\sqrt{x})'+(\sqrt{y})'=0$

Aplique a regra da potência, sabendo que $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

$\dfrac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}+\dfrac{1}{2}\cdot y^{\frac{1}{2}-1}\cdot\dfrac{dy}{dx}=0$

Some os valores no expoente

$\dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}+\dfrac{1}{2}\cdot y^{-\frac{1}{2}}\cdot\dfrac{dy}{dx}=0$

Lembre-se da propriedade de expoente fracionário e negativo: $a^{-\frac{m}{n}}=\dfrac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$

$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{y^{\frac{1}{2}}}\cdot\dfrac{dy}{dx}=0$

Fazendo $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ novamente, temos:

$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{y}}\cdot\dfrac{dy}{dx}=0$

Multiplique as frações

$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{2\sqrt{y}}\cdot\dfrac{dy}{dx}=0$

Subtraia $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ em ambos os lados da equação

$\dfrac{1}{2\sqrt{y}}\cdot\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Multiplique ambos os lados por $2\sqrt{y}$

$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}$

Simplifique a fração

$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$

Pela propriedade de radicais, sabemos que $\dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}=\sqrt{\dfrac{m}{n}}$, logo

$\dfrac{dy}{dx}=-\sqrt{\dfrac{y}{x}}$

Esta é a derivada da nossa função.