Question

Calcule a área total da superfície e o volume de um octaedro regular de aresta 1cm.
 

Answer 1

Notação:

$ap_{base}:~ap\'otema~da~base\\\\M:~ap\'otema~da~pir\^amide$
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O octaedro regular pode ser dividido em duas pirâmides regulares de base quadrada, com todas arestas medindo 1 centímetro

Área lateral de uma das pirâmides

A lateral da pirâmide é formada por 4 triângulos equiláteros com 1 cm de lado:

$A_{lateral}=4\cdot A_{equil\'atero}\\\\\\A_{lateral}=4\cdot\dfrac{1^{2}\sqrt{3}}{4}\\\\\\\boxed{\boxed{A_{lateral}=\sqrt{3}~cm^{2}}}$

A área total da superfície do octaedro será o dobro desse valor, portanto:

$A_{octaedro}=2\cdot A_{lateral}\\\\\boxed{\boxed{A_{octaedro}=2\sqrt{3}~cm^{2}}}$
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Achando a altura de uma das pirâmides

Para isso, precisaremos do apótema da base e do apótema da pirâmide:

$ap_{base}=\dfrac{1}{2}a_{base}~~~(pois~a~base~\'e~quadrada)\\\\\\ap_{base}=\dfrac{1}{2}\cdot1\\\\\\\boxed{\boxed{ap_{base}=\dfrac{1}{2}~cm}}$

Achando o apótema da pirâmide (altura de uma face lateral):

Basta encontrarmos a altura de um triângulo equilátero de lado 1 cm:

$M=1\cdot sen~60\º\\\\\\\boxed{\boxed{M=\dfrac{\sqrt{3}}{~2}~cm}}$

Achando a altura da pirâmide:

$h^{2}+(ap_{base})^{2}=M^{2}\\\\h^{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{3}{4}\\\\\\h^{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\\\\\\h^{2}=\dfrac{3-1}{4}\\\\\\h^{2}=\dfrac{2}{4}\\\\\\\boxed{\boxed{h=\dfrac{\sqrt{2}}{~2}~cm}}$

Logo, o volume de uma pirâmide é dado por

$V_{p}=\dfrac{1}{3}A_{base}\cdot h\\\\\\V_{p}=\dfrac{1}{3}\cdot(a_{base})^{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{~2}\\\\\\\boxed{\boxed{V_{p}=\dfrac{\sqrt{2}}{~6}~cm^{3}}}$

O volume do octaedro é o dobro desse volume:

$V_{octaedro}=2\cdot V_{p}\\\\\\V_{octaedro}=2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{~6}\\\\\\\boxed{\boxed{V_{octaedro}=\dfrac{\sqrt{2}}{~3}~cm^{3}}}$