Question

Calcule a área sob a parábola y = x3 no intervalo de 0 até 1

Answer 1

Após a realização dos cálculos fornecidos pelo enunciado concluímos que:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A = \int\limits^1_0 x^3 \, dx = \dfrac{1}{4} } }$

A Integral Definida para Cálculo de Área:

A integral definida de uma função  f(x), num intervalo  [a,b]  é igual à área entre a curva de  f(x)  e o eixo dos  x.

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ A = \int\limits^b_a f({x}) \, dx = F(b) - F(a) } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf A = \:? \\ \sf y = f(x) = x^{3} \\ \sf a = 0 \\ \sf b = 1 \end{cases} } }$

Determinando a área através da integração da função y = x³.

$\Large \displaystyle \mathsf{ A = \int\limits^1_0 f(x) \, dx = \int\limits^1_0 x^3 \, dx }$

Precisamos relembrar a seguinte técnica de integração:

$\Large \displaystyle \mathsf{ }$$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int x^n\: dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A = \int\limits^1_0 x^3 \, dx = \dfrac{x^{3+1}}{3+1} \bigg|_0^1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A = \dfrac{x^{4}}{4} \bigg|_0^1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A = \dfrac{1}{4} \cdot x^4 \bigg|_0^1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A = \dfrac{1}{4} \cdot \left( 1^4 -0^4 \right) } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A = \dfrac{1}{4} \cdot \left(1-0\right) } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A = \dfrac{1}{4} \cdot 1 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf A = \dfrac{1}{4} }$

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