Matemática, perguntado por alfredoneto39p3dljl, 7 meses atrás

Calcule a area limitada pelo grafico de f(x) = sen(x), pelas retas x = − π /2, x=π /2 e o eixo dos x.


alguém ajuda?

Soluções para a tarefa

Respondido por Nefertitii
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Temos os seguintes dados:

f(x ) =  \sin(x), \: x =  -  \frac{\pi}{2} , \: x =  \frac{\pi}{2}  \\

Inicialmente faz-se necessário plotar o gráfico através de software, ou então, fazer o gráfico você mesmo. Fazendo esse gráfico, você notará que são formadas duas área entre a função y = sen(x), as retas e o eixo x. Note que essas áreas são iguais, ou seja, encontrar a área de uma delas e multiplicá-la por 2.

  • Inicialmente vamos montar a integral. Pelo que sabemos a integral da área é dada pela subtração da função de cima pela função de baixo, sendo a relação dada por:

 \boxed{A = \int\limits_{a}^{ b}(f(x) - g(x))dx}

Sendo f(x) a função de cima, g(x) a função de baixo e "a,b" os limites de integração (os limites são as próprias retas dadas). Logo teremos que:

A = \int\limits_{ -  \frac{\pi}{2} }^{0}(0 -  \sin(x) ) dx \longrightarrow A = \int\limits_{ -  \frac{\pi}{2} }^{0} -  \sin(x)dx \\

Integrando essa função:

A =  \int  -  \sin(x)dx \\  \\  \boxed{A =  \cos(x) + k \bigg |_{ -  \frac{\pi}{2} }^{0}}

Aplicando o teorema da variação e multiplicando a área encontrada por 2:

A = 2.\left( \cos(0) + k  - \left(  \cos\left(  -  \frac{\pi}{2} \right)  + k\right)\right) \\   \\ A =  2.\left( 1 + k  - \left(   0+ k\right)\right) \\  \\ A = 2. \left( 1 + k  - k\right) \\  \\ A = 2. \left(1  \right) \\   \\  \boxed{A = 2 \: u.a}\\  \\

Espero ter ajudado

Anexos:

alfredoneto39p3dljl: cê me salvou de verdade
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