Question

calcule a área limitada pela cuva y=6-x-x ao quadrado

Answer 1

$f(x)=6-x-x^{2}$ possui uma parábola com concavidade para baixo (pois a derivada segunda de f é negativa) como gráfico. Portanto, a área delimitada pela curva y = f(x) e o eixo x está entre as raízes de f

Achando as raízes de f por soma e produto:

$S=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{(-1)}{(-1)}=-1\\\\\\P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{6}{(-1)}=-6$

A soma das raízes é -1 e o produto é -6, logo, as raízes são -3 e 2

Veja o gráfico da curva em anexo

A área limitada pela curva e o eixo x é dada pela integral abaixo

$S=\displaystyle\int\limits_{-3}^{2}f(x)dx\\\\\\S=\int\limits_{-3}^{2}(6-x-x^{2})dx\\\\\\S=\left[6x-\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-3}}^{2}\\\\\\S=\left(6\cdot2-\dfrac{2^{2}}{2}-\dfrac{2^{3}}{3}\right)-\left(6(-3)-\dfrac{(-3)^{2}}{2}-\dfrac{(-3)^{3}}{3}\right)\\\\\\S=\left(12-2-\dfrac{8}{3}\right)-\left(-18-\dfrac{9}{2}+\dfrac{27}{3}\right)\\\\\\S=\left(10-\dfrac{8}{3}\right)-\left(-18+9-\dfrac{9}{2}\right)\\\\\\S=10-\dfrac{8}{3}+9+\dfrac{9}{2}\\\\\\S=19-\dfrac{8}{3}+\dfrac{9}{2}$


$S=\dfrac{114}{6}-\dfrac{16}{6}+\dfrac{27}{6}\\\\\\S=\dfrac{114-16+27}{6}\\\\\\\boxed{\boxed{S=\dfrac{125}{6}~(unidade)^{2}}}$