Question

Calcule a área lateral de um cilindro de 6 dm quadrados de área total, sabendo que o raio da base é um quinto da altura.

Answer 1

Resposta:

 5 dm²

Explicação passo-a-passo:

A_total = 2·A_base + A_lateral = 2·pi·r² +2·pi·r·h  

= 2· pi ·r (r+h) = 2·pi·h/5·(h/5 + h) = 12/25·pi ·h² = 6 -->  

h²= 6·25/12 ·1/pi = 25/(2·pi)  

h= 5/ √(2·pi) = 5·√(2·pi) / (2·pi) r=h/5=√(2·pi) / (2·pi)  

--> A_lateral = 2·pi·r·h = 2·pi ·5/ √(2·pi) ·1/ √(2·pi) =

Answer 2

A área lateral do cilindro proposto será igual a $5dm^{2}$.

A área superficial de um cilindro é a soma da área superior mais a área inferior mais a área lateral, onde a área lateral, a área superior e a área inferior valem respectivamente:

                                            $A_L = 2*\pi*R*h\\A_S = \pi*R^{2} \\A_I = \pi*R^{2}\\A_T = A_L + A_S + A_I\\A_T=2*\pi*R^{2} +2*\pi*R*h$

Sendo:

$A_T$ a área total do cilindro;

$A_L$ a área lateral;

$A_S$ a área superior do cilindro;

$A_I$ a área inferior do cilindro;

R o raio do cilindro;

h a altura.

Segundo a questão, temos que:

                                     $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_T = 6*dm^{2}\\2*\pi*R^{2} +2*\pi*R*h = 6*dm^{2}$

Sabendo que o raio é igual a $R=\frac{h}{5}$, pode-se substituir na equação:

                                      $2*\pi*(\frac{h}{5})^{2} +2*\pi*(\frac{h}{5})*h = 6*dm^{2}\\2*\pi*\frac{h^{2}}{25} +2*\pi*(\frac{h^{2}}{5}) = 6*dm^{2}\\2*\pi*\frac{h^{2}}{25} +2*5*\pi*(\frac{h^{2}}{25}) = 6*dm^{2}\\2*\pi*\frac{h^{2}}{25} +10*\pi*(\frac{h^{2}}{25}) = 6*dm^{2}\\12*\pi*\frac{h^{2}}{25} = 6*dm^{2}\\h^{2} = \frac{25*6*dm^{2}}{\pi*12}$

                                      $h = \sqrt{ \frac{25*dm^{2}}{\pi*2} } \\h = \frac{5dm}{\sqrt{\pi*2} }$

Agora basta substituir o valor da altura encontrado na equação da altura lateral.

Temos que $A_L$ será igual a:

                                       $A_L = \frac{2*\pi*h^{2}}{5}\\A_L = \frac{2*\pi*(\frac{5dm}{\sqrt{\pi*2}})^{2}}{5}\\A_L = \frac{2*\pi*(\frac{25dm^{2}}{\pi*2})}{5}\\\\A_L = 2*\pi*\frac{5dm^{2}}{\pi*2}}\\A_L = 5dm^{2}$

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