Question

Calcule a área entre da região limitadas pelas curvas: 2y²= x + 4 e y² = x

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a área compreendida entre as referidas curvas é:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \int_{-2}^{2}\left[-x^{2} + 4\right]\,dx = \frac{32}{3}\,u\cdot a\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam as funções:

                        $\Large\begin{cases}\tt 2y^{2} = x + 4\\ \tt y^{2} = x\end{cases}$

Observe que as funções estão em função da variável "y". Neste caso, devemos passar as funções em função da variável "x". Para isso devemos substituir o "y" por "x" em ambas funções. Então temos:

    $\Large\begin{cases}\tt 2x^{2} = y + 4\\ \tt x^{2} = y\end{cases}\Longrightarrow \Large\begin{cases}\tt y = 2x^{2} - 4\\ \tt y = x^{2}\end{cases}$

Organizando-as, temos:

               $\Large\begin{cases}\tt f(x) = 2x^{2} - 4\\ \tt g(x) = x^{2}\end{cases}$

Agora devemos encontrar o intervalo "I" de integração. Para isso fazemos:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt f(x) = g(x)\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt 2x^{2} - 4 = x^{2}\end{gathered}$

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt 2x^{2} - x^{2} - 4 = 0\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt x^{2} - 4 = 0\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt x^{2} = 4\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt x = \pm\sqrt{4}\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt x = \pm2\end{gathered}$

Portanto, o intervalo de integração é:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt I = \left[x',\,x''\right] = \left[-2,\,2\right]\end{gathered}$

Para calcular a área "S" compreendida entre duas funções no intervalo [a, b], devemos calcular a seguinte integral definida:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt S = \int_{a}^{b} \left[g(x) - f(x)\right]\,dx\end{gathered}$

Onde:

     $\Large\begin{cases} \tt S = \acute{A}rea\:entre\:as\:curvas\\\tt a = Limite\:inferior\:intervalo\\\tt b = Limite\:superior\:intervalo\\\tt g(x) = Func_{\!\!,}\tilde{a}o\:mais\:acima\\\tt f(x) = Func_{\!\!,}\tilde{a}o\:mais\:abaixo\end{cases}$

Substituindo os valores na equação "I" temos:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt S = \int_{-2}^{2}\left[(x^{2}) - (2x^{2} - 4)\right]\,dx\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \int_{-2}^{2}\left[x^{2} - 2x^{2} + 4\right]\,dx\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \int_{-2}^{2}\left[-x^{2} + 4\right]\,dx\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \left[\frac{-x^{2 + 1}}{2 + 1} + 4x + c\right]\bigg|_{-2}^{2}\end{gathered} }$

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \left[\frac{-x^{3}}{3} + 4x + c\right]\bigg|_{-2}^{2}\end{gathered} }$

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \left[\frac{-(2^{3})}{3} +4\cdot2 + c\right] - \left[\frac{-((-2)^{3})}{3} + 4\cdot(-2) + c\right]\end{gathered} }$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \left[\frac{-8}{2} + 8 + c\right] - \left[\frac{8}{3} - 8 + c\right]\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = -\frac{8}{3} + 8 + c - \frac{8}{3} + 8 - c\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{-8 + 24 -8 + 24}{3}\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt = \frac{32}{3}\end{gathered}$

✅ Portanto, a área é:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt S = \int_{-2}^{2}\left[-x^{2} + 4\right]\,dx = \frac{32}{3}\,u\cdot a\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$