Question

Calcule a área entre as funções, y= x² - 2x -2 e y = x+2, no intervalo de -1 e 1.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre área de regiões limitadas por curvas e integração.

Devemos calcular a área da região delimitada pelas funções $y=x^2-2x-2$ e $y=x+2$, no intervalo $[-1,~1]$.

Lembre-se que, dadas duas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas e integráveis em um intervalo fechado $[a,~b]$, a área da região delimitada por estas curvas neste intervalo, em que $f(x)>g(x)$ é calculada pela integral: $\displaystyle{\int_a^b f(x)-g(x)\,dx$.

Assim, ao analisarmos o gráfico da função (imagem em anexo), conclui-se que neste intervalo $x+2>x^2-2x-2$. A área da região delimitada por estas curvas será calculada pela seguinte integral:

$\displaystyle{\int_{-1}^1x+2-(x^2-2x-2)\,dx$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos semelhantes

$\displaystyle{\int_{-1}^1x+2-x^2+2x+2\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_{-1}^1-x^2+3x+4\,dx$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx}$.
• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$.
• A integral definida de uma função, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int_{-1}^1-x^2\,dx+\int_{-1}^13x\,dx+\int_{-1}^14\,dx$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{-\int_{-1}^1x^2\,dx+3\cdot\int_{-1}^1x\,dx+4\cdot\int_{-1}^11\,dx$

Aplique a regra da potência, lembrando que $1=x^0$

$-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+3\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+4\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_{-1}^1$

Some os valores no expoente e denominador e aplique os limites de integração

$-\dfrac{x^3}{3}+3\cdot\dfrac{x^2}{2}+4\cdot x~\biggr|_{-1}^1\\\\\\ -\dfrac{1^3}{3}+3\cdot\dfrac{1^2}{2}+4\cdot 1-\left(-\dfrac{(-1)^3}{3}+3\cdot\dfrac{(-1)^2}{2}+4\cdot (-1)\right)$

Calcule as potências e multiplique os valores

$-\dfrac{1}{3}+3\cdot\dfrac{1}{2}+4\cdot 1-\left(-\dfrac{-1}{3}+3\cdot\dfrac{1}{2}+4\cdot(-1)\right)\\\\\\ -\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}+4-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}-4\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os valores

$-\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}+4-\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{2}+4\\\\\\ 8 -\dfrac{2}{3}\\\\\\ \dfrac{22}{3}~\bold{u.~a}$

Esta é a área da região delimitada por estas curvas neste intervalo.