Question

Calcule a área e o volume do cone, sabendo que:
O raio mede 4m e sua altura é a metade da geratriz

Answer 1

Oi Vinicius.

Sabemos então que a altura vale:

$h=\frac { g }{ 2 }$

Com isso basta usar o pitágoras e descobrir o valor da geratriz.

$4^{ 2 }+(\frac { g }{ 2 } )^{ 2 }=g^{ 2 }\\ \\ 16+\frac { g^{ 2 } }{ 4 } =g^{ 2 }\\ \\ \frac { 64+g^{ 2 }=4g^{ 2 } }{ 4 } \\ \\ 64=4g^{ 2 }-g^{ 2 }\\ 64=3g^{ 2 }\\ \frac { 64 }{ 3 } =g^{ 2 }\\ \\ \frac { \sqrt { 64 } }{ \sqrt { 3 } } =g\\ \\ \frac { 8 }{ \sqrt { 3 } } =g \\ \\ \Huge\boxed {\frac { 8\sqrt { 3 } }{ 3 } =g}$


Agora podemos saber o valor da altura.

$h=\frac { g }{ 2 } \\ \\ h=\frac { 1 }{ 2 } *g\\ \\ h=\frac { 1 }{ 2 } *\frac { 8\sqrt { 3 } }{ 3 } \\ \\ h=\frac { 8\sqrt { 3 } }{ 6 } \\ \\ \Huge\boxed {h=\frac { 4\sqrt { 3 } }{ 3 } }$


Agora vamos achar a área da base.

$Ab=\pi R^{ 2 }\\ Ab=\pi (4)^{ 2 }\\\\ \Huge\boxed {Ab=16\pi m^{ 2 }}$

Agora podemos achar o volume.

$V=\frac { Ab*H }{ 3 } \\ \\ V=\frac { 16\pi *\frac { 4\sqrt { 3 } }{ 3 } }{ 3 } \\ \\ \Huge{\boxed {V=\frac { 64\sqrt { 3 } }{ 9 } m^{ 3 }}$


Agora vamos achar a área lateral.

$Al=\pi RG\\ Al=\pi *4*\frac { 8\sqrt { 3 } }{ 3 } \\ \\ \Huge\boxed {Al=\frac { 32\pi \sqrt { 3 } }{ 3 }m^2 }}$


Agora sim acharemos a área total.

$At=Ab+Al\\ At=16\pi +\frac { 32\pi \sqrt { 3 } }{ 3 } \\ \\ \Huge\boxed{At=\pi (16+\frac { 32\sqrt { 3 } }{ 3 } )m^2}$