Question

Calcule a área do triângulo ABC, sabendo que A(-1;-2), B(-5;-2) e C(-8;1).

Answer 1

Primeiro vamos organizar os dados em meio que uma "tabela" que facilite a substituição no DETERMINANTE (3x3).

$\begin{cases} \sf A(-1,-2) \rightarrow xa = - 1 \: \: \: ya = - 2 \\ \sf B(-5,-2) \rightarrow xb = - 5 \: \: \: yb = - 2 \\ \sf C(-8,1) \rightarrow xc = - 8 \: \: \: \: yc = 1\end{cases}$

O DETERMINANTE possui a estrutura da condição de alinhamento, que é dada por:

$\large \begin{pmatrix} \sf xa& \sf ya& \sf1 \\ \sf xb& \sf yb& \sf1 \\ \sf xc& \sf yc& \sf1\end{pmatrix}$

Substituindo:

$\begin{pmatrix} \sf - 1& \sf - 2& \sf1 \\ \sf - 5& \sf - 2& \sf1 \\ \sf - 8& \sf 1& \sf1\end{pmatrix}$

Agora você deve calcular esse DETERMINANTE através do método que mais for conveniente para você. No meu caso eu vou calcular através do método de Sarrus, ou seja, multiplicar os elementos da diagonal principal menos a multiplicação dos elementos da diagonal secundária.

$\begin{pmatrix} \sf - 1& \sf - 2& \sf1 \\ \sf - 5& \sf - 2& \sf1 \\ \sf - 8& \sf 1& \sf1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix} \sf - 1& \sf - 2 \\ \sf - 5& \sf - 2 \\ \sf - 8& \sf 1\end{pmatrix} \\ \sf D = ( - 1).( - 2).1 + ( - 2).1.( - 8) + 1.( - 5).1 - (( - 8).( - 2).1 + 1.1.( - 1) + 1.( - 5).( - 2)) \\ \sf D = 2 + 16 - 5 - ( +16 - 1 + 10) \\ \sf D = 13 - (25) \\ \sf D = 13 - 25 \\ \boxed{ \sf D = - 12}$

Por fim devemos substituir na fórmula da área de um triângulo através da geometria analítica.

$\sf A = \frac{1}{2} . |D| \\ \\ \sf A = \frac{1}{2} . | - 12| \\ \\ \sf A = \frac{1}{2} .12 \\ \\ \sf A = \frac{12}{2} \\ \\ \boxed{\sf A = 6 \: u.a}$

Espero ter ajudado