Question

Calcule a área delimitadas pelas funções abaixo, esboce os gráficos. a) y1=x e y2= x^2 + X - 2 b) y1=4 e y2= x^2

Answer 1

A)
Y1=x
Y2 = x²

agora vc tem que encontrar os pontos onde as duas funções se tocam
para saber o intervalo onde vc vai ter que calcular a area

os pontos em comum serão encontrados quando Y1 ter o mesmo valor de Y2
$Y1=Y2\\\\ x=x^2$

vc pode ver que os intervalos são de 0 a 1
(é a unica maneira de x ser igual x² eh quando x=0 ou quando x =1)

caso n consiga ver isso vc faz 0=x²-x e resolve por bhaskara

agora observando qual a função que limita por cima
vc pega o ponto medio entre o intervalo encontrado que será $\frac{1+0}{2} = \frac{1}{2}$ e observa qual função tem o maior valor nesse ponto

$y1 = \frac{1}{2} \\\\ y2= (\frac{1}{2} )^2= \frac{1}{4}$

então a função y1 limita a area entre as duas por cima
e a função y2 limita a area por baixo

a area entre as duas sera
area y1 - area y2
$\int\limits^1_0 {x} \, dx - \int\limits^1_0 {x^2} \, dx =\boxed{ \int\limits^1_0 {x-x^2} \, dx }$

resolvendo a integral
$\int\limits^1_0 {x-x^2} \, dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}$

PARA X=1
$\frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} = \frac{1}{6}$

para x =0 o resultado será 0

então a area entre as duas é 1/6
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b) y1=4
 y2= x²

intervalo
$4=x^2\\\\\pm \sqrt{4}=x \\\\ \pm 2= x$

o intervalo  é de -2 até 2

a metade é no ponto x=0
neste ponto a função y1=4 tem maior valor que a função y2=x²

então a integral fica
$\int\limits^2_{-2} {4} \, dx - \int\limits^2_{-2} {x^2} \, dx = \boxed{ \int\limits^2_{-2} {4-x^2} \, dx }$

resolvendo
$\int\limits^2_{-2} {4-x^2} \, dx =4x- \frac{x^{3}}{3}$

para x =2
$4*2- \frac{2^{3}}{3}= 8- \frac{8}{3}= \frac{16}{3}$

para x = -2
$4(-2)- \frac{(-2)^{3}}{3}= -8- \frac{-8}{3} =-8+ \frac{8}{3} = \frac{-16}{3}$

a area será
$\frac{16}{3} - \frac{-16}{3} = \frac{16}{3}+ \frac{16}{3}= \frac{32}{3}$