Calcule a área da região triangular delimitada pelos pontos A, B e C, conforme a figura abaixo
Anexos:
Usuário anônimo:
No ponto A , o número que está lá é -3?
Soluções para a tarefa
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2
∴ Sejam as coordenadas :
∴ A reta ( equação na forma reduzida ) contém os pontos P , B , C . Então começaremos definindo a equação dessa reta utilizando os pontos C e P :
∴ é o coeficiente linear da reta , ou seja , o seu valor é igual a ordenada do ponto ( no caso ponto P ) que pertence a reta r e pertence também ao semi eixo . Então .
∴ A equação da reta r :
∴ Como dito anteriormente o ponto B pertence a reta r , logo para descobrir as coordenadas de B para substituí-las na equação :
∴ Temos que
∴ A área de qualquer figura convexa pode ser calculada por :
→ Sendo S a área da figura e Det o determinante relativo aos vértices da figura .
∴ Esse determinante pode ser expresso por :
→ Como eu defini as coordenadas dos vértices já , então basta substituir seus valores no determinante
→ Agora no anexo ( 1 ) eu irei mostrar a maneira como se calcula um determinante e no anexo ( 2 ) eu calculei o determinante dessa questão .
→ Continuando :
∴ Agora basta substituir na fórmula :
∴ A reta ( equação na forma reduzida ) contém os pontos P , B , C . Então começaremos definindo a equação dessa reta utilizando os pontos C e P :
∴ é o coeficiente linear da reta , ou seja , o seu valor é igual a ordenada do ponto ( no caso ponto P ) que pertence a reta r e pertence também ao semi eixo . Então .
∴ A equação da reta r :
∴ Como dito anteriormente o ponto B pertence a reta r , logo para descobrir as coordenadas de B para substituí-las na equação :
∴ Temos que
∴ A área de qualquer figura convexa pode ser calculada por :
→ Sendo S a área da figura e Det o determinante relativo aos vértices da figura .
∴ Esse determinante pode ser expresso por :
→ Como eu defini as coordenadas dos vértices já , então basta substituir seus valores no determinante
→ Agora no anexo ( 1 ) eu irei mostrar a maneira como se calcula um determinante e no anexo ( 2 ) eu calculei o determinante dessa questão .
→ Continuando :
∴ Agora basta substituir na fórmula :
Anexos:
Respondido por
1
PRIMEIRA FORMA
Note que podemos encontrar a medida da base AC do triângulo facilmente:
onde é a função distância entre dois pontos.
Agora, será que a altura do triângulo é (coordenada y do ponto B)? Sim, pois a altura (em relação à base AC) é um segmento que parte do ponto B e encontra AC num ângulo de 90º, logo terá a mesma medida que o segmento no eixo y que vai da origem ao ponto (0,9)
Portanto, pela forma usual de cálculo de área:
___________________________________________________
SEGUNDA FORMA
Usaremos o seguinte método: A área de um triângulo com vértices e é dada por
onde X é a matriz abaixo:
___
Para usar esse método, precisamos dos vértices do triângulo. Temos dois completos: , e precisamos da coordenada x do ponto B. Podemos encontrá-la por semelhança de triângulos (veja o anexo)
Por semelhança de triângulos, temos
Logo, os vértices do triângulo são:
Agora, precisamos do determinante da matriz
Usando o Teorema de Laplace (o de escolher uma coluna/linha, de preferência a com maior quantidade de zeros, e utiliza seus elementos e os determinantes das matrizes obtidas ao excluir a linha e a coluna de cada elemento da linha), temos
onde
Logo,
Finalmente:
Note que podemos encontrar a medida da base AC do triângulo facilmente:
onde é a função distância entre dois pontos.
Agora, será que a altura do triângulo é (coordenada y do ponto B)? Sim, pois a altura (em relação à base AC) é um segmento que parte do ponto B e encontra AC num ângulo de 90º, logo terá a mesma medida que o segmento no eixo y que vai da origem ao ponto (0,9)
Portanto, pela forma usual de cálculo de área:
___________________________________________________
SEGUNDA FORMA
Usaremos o seguinte método: A área de um triângulo com vértices e é dada por
onde X é a matriz abaixo:
___
Para usar esse método, precisamos dos vértices do triângulo. Temos dois completos: , e precisamos da coordenada x do ponto B. Podemos encontrá-la por semelhança de triângulos (veja o anexo)
Por semelhança de triângulos, temos
Logo, os vértices do triângulo são:
Agora, precisamos do determinante da matriz
Usando o Teorema de Laplace (o de escolher uma coluna/linha, de preferência a com maior quantidade de zeros, e utiliza seus elementos e os determinantes das matrizes obtidas ao excluir a linha e a coluna de cada elemento da linha), temos
onde
Logo,
Finalmente:
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