Matemática, perguntado por MaxwelSantos, 1 ano atrás

Calcule a área da região triangular delimitada pelos pontos A, B e C, conforme a figura abaixo

Anexos:

Usuário anônimo: No ponto A , o número que está lá é -3?
MaxwelSantos: isso

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo
2
∴ Sejam as coordenadas :

A( -3 \ , \ 0 ) \\
B( x_B \ , \ 9 ) \\
C( 9 \ , \ 0 ) \\
P( 0 \ , \ \frac{27}{2})

∴ A reta r \ : \ y \ = \ mx + n ( equação na forma reduzida )  contém os pontos P , B , C . Então começaremos definindo a equação dessa reta utilizando os pontos C e P :

m =  \frac{y_C-y_P}{x_C-x_P}
m =  \frac{ 0 -  \frac{27}{2}  }{9}
m = - \frac{27}{2} . (  \frac{1}{9} )
m = -  \frac{3}{2}

∴ n é o coeficiente linear da reta , ou seja , o seu valor é igual a ordenada do ponto ( no caso ponto P ) que pertence a reta r e pertence também ao semi eixo \underset{+Oy}{\rightarrow} . Então  n =  \frac{27}{2} .

∴ A equação da reta r :

y \ = \ - \frac{3}{2}x +  \frac{27}{2}

∴ Como dito anteriormente o ponto B pertence a reta r , logo para descobrir as coordenadas de B para substituí-las na equação :

y_B = -  \frac{3}{2}x_B +  \frac{27}{2}
9 = -  \frac{3}{2}.x +  \frac{27}{2}
x_B \ = \ 3

∴ Temos que B( 3 \ , \ 9 )

∴ A área de qualquer figura convexa pode ser calculada por :

S = \frac{|Det|}{2}

→ Sendo S a área da figura e Det o determinante relativo aos vértices da figura .

∴ Esse determinante pode ser expresso por :

\begin{vmatrix}
x_A & y_A & 1 \\ 
x_B & y_B & 1 \\ 
x_C & y_B & 1
\end{vmatrix}  \\

→ Como eu defini as coordenadas dos vértices já , então basta substituir seus valores no determinante

\begin{vmatrix}
-3 & 0 & 1 \\ 
\ \ 3 & 9 & 1 \\ 
\ \ 9 & 0 & 1
\end{vmatrix}

→ Agora no anexo ( 1 ) eu irei mostrar a maneira como se calcula um determinante e no anexo ( 2 ) eu calculei o determinante dessa questão . 

→ Continuando :

Det = 9.0.1 - 3.9.1 + 3.0.1 - 1.0.3 - 1.9.9 - 1.0.(-3) \\
Det = - 27 -81 \\
Det = -108

∴ Agora basta substituir na fórmula : 

S \ = \  \frac{| -108 |}{2}
S =  \frac{108}{2} \\ \\ 
S= 54 \ u.a  \ ( \ unidade \ de \ \acute{a}rea )       
Anexos:

Usuário anônimo: Dúvidas? Poste-as nos comentários que eu tentarei lhe ajudar =D
Respondido por Niiya
1
PRIMEIRA FORMA

Note que podemos encontrar a medida da base AC do triângulo facilmente:

\mathtt{b}=\mathtt{d}(A,C)=|9-(-3)|=|9+3|=|12|=12~\mathtt{uc}

onde \mathtt{d} é a função distância entre dois pontos.

Agora, será que a altura do triângulo é \mathtt{h}=9 (coordenada y do ponto B)? Sim, pois a altura (em relação à base AC) é um segmento que parte do ponto B e encontra AC num ângulo de 90º, logo terá a mesma medida que o segmento no eixo y que vai da origem ao ponto (0,9)

Portanto, pela forma usual de cálculo de área:

S=\dfrac{\mathtt{b}\times\mathtt{h}}{2}\\\\\\S=\dfrac{12\times9}{2}\\\\\\S=6\times9\\\\\\\boxed{\boxed{S=54~\mathtt{unidades~de~\'area}}}
___________________________________________________

SEGUNDA FORMA

Usaremos o seguinte método: A área de um triângulo com vértices A(x_{1},y_{1}),\,B(x_{2},y_{2})C(x_{3},y_{3}) é dada por

S=\dfrac{1}{2}|\det\,X|

onde X é a matriz abaixo:

X=\left[\begin{array}{ccc}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{array}\right]
___

Para usar esse método, precisamos dos vértices do triângulo. Temos dois completos: A(-3,0),\,C(9,0), e precisamos da coordenada x do ponto B. Podemos encontrá-la por semelhança de triângulos (veja o anexo)

Por semelhança de triângulos, temos

\dfrac{\mathtt{medida}(laranja)}{\mathtt{medida}(verde)}=\dfrac{\mathtt{medida}(azul)}{\mathtt{medida}(amarelo)}\\\\\\\dfrac{x}{9}=\dfrac{\big(\frac{27}{2}\big)-9}{\big(\frac{27}{2}\big)}\\\\\\\dfrac{x}{9}=\dfrac{\big(\frac{27-18}{2}\big)}{\big(\frac{27}{2}\big)}\\\\\\\dfrac{x}{9}=\dfrac{\big(\frac{9}{2}\big)}{\big(\frac{27}{2}\big)}\\\\\\x=9\cdot\dfrac{9}{27}\\\\\\x=9\cdot\dfrac{1}{3}\\\\\\\boxed{\boxed{x=3}}

Logo, os vértices do triângulo são: A(-3,0),\,B(3,9),\,C(9,0)

Agora, precisamos do determinante da matriz

X=\left[\begin{array}{ccc}-3&0&1\\3&9&1\\9&0&1\end{array}\right]

Usando o Teorema de Laplace (o de escolher uma coluna/linha, de preferência a com maior quantidade de zeros, e utiliza seus elementos e os determinantes das matrizes obtidas ao excluir a linha e a coluna de cada elemento da linha), temos

\det X=\ell_{12}\left|\begin{array}{cc}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{array}\right|+\ell_{22}\left|\begin{array}{cc}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{array}\right|+\ell_{32}\left|\begin{array}{cc}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{array}\right|

onde \ell_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}

Logo,

\det X=\\\\=(-1)^{1+2}\cdot0\left|\begin{array}{cc}3&1\\9&1\end{array}\right|+(-1)^{2+2}\cdot9\left|\begin{array}{cc}-3&1\\9&1\end{array}\right|+(-1)^{2+3}\cdot0\left|\begin{array}{cc}-3&1\\3&1\end{array}\right|\\\\=(-1)^{4}\cdot9\cdot\big[(-3)\cdot1-1\cdot9\big]\\\\=1\cdot9\cdot(-3-9)\\\\=9\cdot(-12)\\\\=-108

Finalmente:

S=\dfrac{1}{2}|\det X|\\\\\\S=\dfrac{1}{2}\cdot|-108|\\\\\\S=\dfrac{1}{2}\cdot108\\\\\\\boxed{\boxed{S=54~\mathtt{unidades~de~\'area}}}
Anexos:
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