Question

Calcule a área da região situada entre as curvas y = 2x^2-2 e y = x + 1

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre área de regiões delimitadas por curvas e integração.

Seja $R$ a região delimitada por duas curvas $f(x)$ e $g(x)$, contínuas e integráveis em um intervalo fechado $[a,~b]$, onde $f(x)>g(x)$. A área desta região pode ser calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R\,dA=\int_a ^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx$.

Devemos determinar a área da região delimitada pelas curvas $y=2x^2-2$ e $y=x+1$.

Primeiro, encontramos o intervalo em que esta região pertence, igualando as funções:

$2x^2-2=x+1$

Subtraia $x+1$ em ambos os lados da equação e some os termos semelhantes

$2x^2-x-3=0$

Esta é uma equação quadrática completa de coeficientes reais $ax^2+bx+c=0,~a\neq0$. Utilizamos a fórmula resolutiva $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ para encontrarmos suas soluções:

$x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2}\\\\\\ x=\dfrac{1\pm\sqrt{25}}{4}\\\\\\ x=\dfrac{1\pm5}{4}$

Separamos as soluções:

$x=\dfrac{1-5}{4}~~\bold{ou}~~x=\dfrac{1+5}{4}\\\\\\ x=\dfrac{-4}{4}~~\bold{ou}~~x=\dfrac{6}{4}\\\\\\ x=-1~~\bold{ou}~~x=\dfrac{3}{2}$

Assim, o intervalo de integração é: $\left[-1,~\dfrac{3}{2}\right]$. Observe que, neste intervalo, $x+1>2x^2-2$. Desta forma, a área da região delimitada por estas curvas será calculada pela integral:

$\displaystyle{\int_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}x+1-(2x^2-2)\,dx$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os valores

$\displaystyle{\int_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}x+1-2x^2+2\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}-2x^2+x+3\,dx}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$.
• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$^.
• A integral definida de uma função, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a ^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}-2x^2\,dx+\int_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}x\,dx+\int_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}3\,dx}$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{-2\cdot\int_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}x^2\,dx+\int_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}x\,dx+3\cdot\int_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}1\,dx}$

Aplique a regra da potência, lembrando que$x=x^1$ e $1=x^0$ .

$-2\cdot\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+3\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}$

Some os valores nos expoentes e denominadores e multiplique os valores

$-\dfrac{2x^{3}}{3}+\dfrac{x^2}{2}+3x~\biggr|_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}$

Aplique os limites de integração

$-\dfrac{2\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}}{3}+\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}{2}+3\cdot\dfrac{3}{2}-\left(-\dfrac{2\cdot(-1)^{3}}{3}+\dfrac{(-1)^2}{2}+3\cdot(-1)\right)$

Calcule as potências e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$-\dfrac{2\cdot\dfrac{27}{8}}{3}+\dfrac{\dfrac{9}{4}}{2}+\dfrac{9}{2}-\left(-\dfrac{2\cdot(-1)}{3}+\dfrac{1}{2}-3\right)\\\\\\ -\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{8}+\dfrac{9}{2}-\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}-3\right)\\\\\\ -\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{8}+\dfrac{9}{2}-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}+3$

Some as frações

$\dfrac{-9\cdot6+9\cdot3+9\cdot12-2\cdot8-1\cdot12+3\cdot24}{24}\\\\\\ \dfrac{-54+27+108-16-12+72}{24}\\\\\\ \dfrac{125}{24}~\bold{u.~a}$

Esta é a área da região delimitada por estas curvas.

Observe a imagem em anexo: em azul, temos a curva $y=2x^2-2$ e em vermelho, temos a reta $y=x+1$. Em roxo, temos a área da região delimitada por estas funções.