Question

Calcule a área da região R, limitada pelas curvas y+x=6, y+x³=0 e 2y−x=0.

Answer 1

Olá, bom dia.

Para calcularmos a área desta região, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

Primeiro, encontramos as equações reduzidas das curvas: a região $\mathcal{R}$ está compreendida entre as curvas $y=6-x,~y=-x^3$ e $y=\dfrac{x}{2}$.

Então, calculamos os pontos de interseção entre as curvas, de forma a determinarmos os intervalos de integração:

$6-x=-x^3\\\\\\ \boxed{x=-2}\\\\\\ -x^3=\dfrac{x}{2}\\\\\\ \boxed{x=0}\\\\\\ 6-x=\dfrac{x}{2}\\\\\\ \boxed{x=4}$

A área de uma região $R$ compreendida entre duas curvas $f(x)$ e $g(x)$, contínuas e integráveis em um intervalo fechado $[a,~b]$, onde $f(x)>g(x)$ é calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^bf(x)-g(x)\,dx}$.

Como podemos ver na imagem em anexo, no intervalo $[-2,~0]$, as curvas $6-x>-x^3$. Já no intervalo $[0,~4]$, as curvas $6-x>\dfrac{x}{2}$.

Com isso, a área da região $\mathcal{R}$ será calculada pelas integrais:

$\displaystyle{\int_{-2}^0\int_{-x^3}^{6-x}\,dy\,dx+\int_{0}^4\int_{\frac{x}{2}}^{6-x}\,dy\,dx}$

Calcule as integrais mais internas, como indicado anteriormente

$\displaystyle{\int_{-2}^06-x-(-x^3)\,dx+\int_{0}^46-x-\left(\dfrac{x}{2}\right)\,dx}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos semelhantes

$\displaystyle{\int_{-2}^06-x+x^3\,dx+\int_{0}^46-x-\dfrac{x}{2}\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_{-2}^06-x+x^3\,dx+\int_{0}^46-\dfrac{3x}{2}\,dx}$

Para calcular estas integrais, lembre-se que:

• A integral é um operador linear, logo vale que: $\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}$ e $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R}}$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$.

Aplique a linearidade

$\displaystyle{6\cdot\int_{-2}^01\,dx-\int_{-2}^0x\,dx+\int_{-2}^0x^3\,dx+6\cdot\int_{0}^41\,dx-\dfrac{3}{2}\cdot\int_0^4x\,dx}$

Aplique a regra da potência, sabendo que $1=x^0$

$6\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}-\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+\dfrac{x^{3+1}}{3+1}~\biggr|_{-2}^0+6\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}-\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}~\biggr|_{0}^4$

Some os valores nos expoentes e denominadores

$6x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{4}~\biggr|_{-2}^0+6x-\dfrac{3x^2}{4}~\biggr|_{0}^4$

Aplique os limites de integração

$6\cdot0-\dfrac{0^2}{2}+\dfrac{0^4}{4}-\left(6\cdot(-2)-\dfrac{(-2)^2}{2}+\dfrac{(-2)^4}{4}\right)+6\cdot4-\dfrac{3\cdot4^2}{4}-\left(6\cdot0-\dfrac{3\cdot0^2}{4}\right)$

Calcule as potências e some os valores

$0-\dfrac{0}{2}+\dfrac{0^4}{4}-(-12-2+4)+24-12-\left(0-\dfrac{0}{4}\right)\\\\\\ 22~\bold{u.~a}~~\checkmark$

Esta é a área da região $\mathcal{R}$. Veja esta região e as curvas nas quais está compreendida na imagem em anexo.