Matemática, perguntado por phenriquemre6164, 4 meses atrás

Calcule a área da região limitada superiormente pela função g ( x ) = 8 √ x , x ≥ 0 , e inferiormente pela função f(x) = x2. 64 3 56 3 45 3 75 3 36 3.

Soluções para a tarefa

Respondido por Sban1

Após calcularmos a integral das regiões concluirmos que á área é

$\Large\text{$ \boxed{\boxed{\boxed{\dfrac{64}{3} }}}$}$

Alternativa A)

Mas, como chegamos nessa resposta?

Integrais

Temos que calcular á área delimitada por duas funções

A função limitada superiormente $G(x)=8\sqrt{x}$ e a função limitada inferiormente $F(x)=x^2$ , ou seja temos que calcular uma integral definida

Integrais definidas são usadas para se obter á área de um função

Primeiro temos que saber em quais valores essas área terão interseção. É nos dito que o inferior é 0 agora temos que encontrar a interseção superior

$8\sqrt{x}=x^2\\ \\(8\sqrt{x} )^2=(x^2)^2\\\\64x=x^4\\\\64=x^3\\\\x=\sqrt[3]{64} \\\\\boxed{x=4}$

Com isso achamos que o limite superior é 4, agora podemos montar nossa integral

$\Large\text{$ \int\limits^4_0 {8\sqrt{x} -x^2} \, dx $}$

Lembre-se que quando queremos achar á área formado por duas funções sempre pegamos a função superior e subtrairmos da inferior

agora antes de começarmos a calcular essa integral vamos relembrar algumas propriedades da integral

Regra da constante multiplicando uma variável

$\Large\text{$ \int\limits^a_b {c\cdot x} \, dx =c\cdot \int\limits^a_b {x} \, dx $}$

Integral da potência

$\Large\text{$ \int\limits^a_b { X^N} \, dx = \int\limits^a_b {\frac{X^{N+1}}{N+1} } \, dx $}$

Integral da Raiz de X

$\Large\text{$ \int\limits^a_b { \sqrt{x} } \, dx = \int\limits^a_b {\frac{2x^{\frac{3}{2} } }{3} } \, dx $}$

Com isso em mente vamos resolver a questão

$\Large\text{$ \int\limits^4_0 {8\sqrt{x} -x^2} \, dx $}\\\\\\\Large\text{$ \left(8\cdot \int\limits^4_0 {\sqrt{x}\right) -\left(\int\limits^4_0 {x^2} } \, dx\right) $}$

$\Large\text{$8\cdot\left[\dfrac{2\left(x\right)^{\frac{3}{2} }}{3}\right]^4_0 -\left[\dfrac{x^3}{3}\right]^4_0 $}$

agora basta substituirmos os limites é vermos o resultado

$\Large\text{$8\cdot\left[\dfrac{2\left(x\right)^{\frac{3}{2} }}{3}\right]^4_0 -\left[\dfrac{x^3}{3}\right]^4_0 $}\\\\\\\Large\text{$8\cdot \left(\frac{2\cdot (4)^{\frac{3}{2} }}{3}- \frac{2\cdot (0)^{\frac{3}{2} }}{3}\right)-\left(\dfrac{4^3}{3} -\dfrac{0^4}{3}\right)$}$

Agora só resolver a expressão numérica

$\Large\text{$8\cdot \left(\frac{2\cdot (4)^{\frac{3}{2} }}{3}- \frac{2\cdot (0)^{\frac{3}{2} }}{3}\right)-\left(\frac{4^3}{3} -\frac{0^4}{3}\right)$}\\\\\\\Large\text{$8\cdot \left(\frac{2\cdot 8}{3}- \frac{2\cdot 0}{3}\right)-\left(\frac{64}{3} -\frac{0}{3}\right)$}\\\\\\\Large\text{$8\cdot \left(\frac{16}{3}- 0\right)-\left(\frac{64}{3} -0\right)$}\\\\\\\Large\text{$8\cdot \frac{16}{3}-\frac{64}{3} $}\\\\\\\Large\text{$ \frac{128}{3}-\frac{64}{3} $}\\\\\\\Large\text{$ \frac{64}{3} $}$