Question

calcule a área da região limitada por y=2x ao cubo e y= 2x com maior ou igual a 0.

Answer 1

Ao esboçar o gráfico, você verá que há 3 intersecções entre a reta e a curva.
Para descobrir seus pontos:

2x³ = 2x

x' = -1
x'' = 0
x''' = 1

Ou seja, as funções têm como pontos em comum: x = - 1, x = 0 e x = 1.
Quando há simetria entre a regiões que se deseja calcular a área, podemos, a fim de simplificar, calcular a área de uma região somente e multiplicá-la pela quantidade de vezes que essa região aparece. No caso da questão dada, 2 vezes. 

Seja f(x) = 2x³ e g(x) = 2x

Área = $\int\limits^1_0 {[f(x) - g(x)]} \, dx = \int\limits^1_0 {[2x - 2x^3]} \, dx = \int\limits^1_0 {2x} \, dx -  \int\limits^1_0 {2x^3} . \, dx = [x^2 - 1/2.x^4 \int\limits^1_0 ] [tex]$ = [1^2 - 1/2.1^4] - [0^2 - 1/2.0^4] = 1 - 0,5 = 0,5 [/tex]

Como explicado mais acima. multiplica-se o valor da área encontrado por 2:

0,5 x 2 = 1

A área da regiões delimitadas pelas funções é 1 u.a (unidade de área)

Dica: 
para facilitar meu estudo de cálculo de área, eu baixei um app de calculadora gráfica.