Question

Calcule a área da região limitada pelas seguintes retas
r: 4x-7y+18= 0
s: 2x -y-6=0
t: 4x+3y-2=0
Dica: calcule os três pontos em que as retas se cruzam.

Answer 1

A área limitada pelas retas r, s e t é igual a 20 ua.

Vamos calcular os pontos de interseção entre as retas.

Interseção entre 4x - 7y + 18 = 0 e 2x - y - 6 = 0.

Da equação 2x - y - 6 = 0 podemos dizer que y = 2x - 6. Substituindo o valor de y na outra equação, obtemos:

4x - 7(2x - 6) + 18 = 0

4x - 14x + 42 + 18 = 0

-10x + 60 = 0

x = 6.

Assim, y = 2.6 - 6 ∴ y = 6. Logo, temos o ponto C = (6,6).

Interseção entre 4x - 7y + 18 = 0 e 4x + 3y - 2 = 0.

Perceba que: 4x = 7y - 18. Então, substituindo o valor de 4x na outra equação:

7y - 18 + 3y - 2 = 0

10y - 20 = 0

y = 2.

Logo, 4x = 7.2 - 18

4x = 14 - 18

4x = -4

x = -1.

Assim, temos o ponto A = (-1,2).

Interseção entre 2x - y - 6 = 0 e 4x + 3y - 2 = 0.

Fazendo y = 2x - 6 e substituindo na outra equação, obtemos:

4x + 3(2x - 6) - 2 = 0

4x + 6x - 18 - 2 = 0

10x - 20 = 0

x = 2

Logo, y = 2.2 - 6

y = -2.

Assim, temos o ponto B = (2,-2).

Perceba que a figura entre as retas é um triângulo. Para calcular a área, vamos criar os vetores AB e AC:

AB = (2 + 1, -2 - 2) = (3,-4)

AC = (6 + 1, 6 - 2) = (7,4).

Agora, vamos calcular o determinante entre AB e AC:

D = 3.4 - 7.(-4) = 12 + 28 = 40.

Dividindo o determinante por 2 obtemos a área do triângulo, que é 40/2 = 20 ua.