Question

Calcule a área da região limitada do plano, que é limitada pelos gráficos de y=x^4 e y=8x .

Answer 1

Bom, desculpa pelo desenho feio hahaha mas enfim, acho que dá pra entender.

A área é a que está em vermelho. No caso, precisamos descobrir nossos limites de integração que são o 0, na extremidade esquerda, e o x1, que pra descobrir, basta igualar as funções:

x^4 = 8x

x^4 - 8x = 0
x (x^3 - 8) = 0   <=> x = 0 ou x^3-8 = 0
em x³ -8 = 0 temos que x = 2

Portanto, nossa integral vai ser de 0 a 2, no caso só temos uma função em cima nesse intervalo, que é a y = 8x. Daí fica fácil.

$\int\limits^2_0 {8x} \, dx = 8 \int\limits^2_0 {x^2/2} \, dx = 8.x^3/3 = 8.2^3/3 = 8.8/3 = 64/3 u.a$

Answer 2

Olá! Primeiramente teremos que encontrar a interseção entre as curvas dada pelo seguinte sistema:

$\displaystyle \left \{ {{y=x^4} \atop {y=8x}} \right.$

Multiplicando o segundo membro por -1, temos o seguinte resultado:

$\displaystyle \left \{ {{y=x^4} \atop {-y=-8x}} \right. \\ \\ \\ 0 = x^4 - 8x \\ \\ 8x-x^4=0 \\ \\ x \cdot (8-x^3) = 0 \\ \\ ==== \\ \\ x'=0 \\ \\ x''= 2$

Com o valor da interseção em mãos, considere a seguinte integral para determinar a área entre as curvas:

$\displaystyle \int_{0}^{2} 8x \, \, dx - \int_{0}^{2} x^4 \, \, dx \\ \\ \\ 8 \cdot \int_{0}^{2} x \, \, dx - \int_{0}^{2} x^4 \, \, dx \\ \\ \\ 8 \cdot \frac{1}{2}x^2 \, \Bigg|_{0}^{2} - \, \, \frac{1}{5}x^5 \, \Bigg|_{0}^{2} \\ \\ \\ 4x^2 \, \Bigg|_{0}^{2} - \, \, \frac{1}{5}x^5 \, \Bigg|_{0}^{2} \\ \\ \\ \bigg( 4 \cdot 2^2 - 4 \cdot 0^2 \bigg) - \bigg( \frac{1}{5} \cdot 2^5 - \frac{1}{5} \cdot 0^5 \bigg) \\ \\ \\ 16-\frac{32}{5} \\ \\ \\ A = \frac{48}{5} \, \, u.a$