Question

calcule a área da região determinada pela curva y ao cubo=x e y=x

Answer 1

$\Bmatrix{y^3=x\to y= \sqrt[3]{x} \\\\Y=x\end$

as curvas se interceptam quando

$y=Y\\\\ \sqrt[3]{x} = x\\\\x=x^3\\\\0=x^3-x\\\\0=x*(x^2-1)\\\\\boxed{0=x*(x-1)*(x+1)}$

elas se tocam quando
x=-1 , x=0 , x=1

observando no intervalo de -1 a 0
quando x = -0,5
 $\Bmatrix{\text{intervalo de -1 a 0}\\\\y= \sqrt[3]{0,5}= -0,7\\Y=-0,5\end$

pode se ver que neste intervalo
a função y limita por baixo
e a função Y limita a função por cima

a area (A1) dessa região será 
$A_1=\left|\left| \int\limits^0_{-1} {x- \sqrt[3]{x}} \, dx \right|\right|$

em módulo porque as curvas estão abaixo do eixo x assim a area iria dar valor negativo
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no intervalo de 0 a 1 
quando x = 0,5
$\Bmatrix{\text{intervalo de 0 a 1}\\\\y= \sqrt[3]{0,5}= 0,7\\Y=0,5\end$

a função y limita por cima 
e a função Y limita por baixo

$A_2= \int\limits^1_0 {(\sqrt[3]{x}-x)} \, dx$
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a area total 

$A = A_1 + A_2 \\\\\boxed{\boxed{A=\left|\left| \int\limits^0_{-1} {x-\sqrt[3]{x}} \, dx \right|\right| + \int\limits^1_0 {(\sqrt[3]{x}-x)} \, dx}}$

esse é um jeito de fazer
ou então se você pensar em simetria
o resultado de A1 vai ser igual A2 
logo

$A=2*A_2\\\\A=2* \int\limits^1_0 { (\sqrt[3]{x}-x )} \, dx \\\\A=2* \int\limits^1_0 { (x^{ \frac{1}{3} }-x )}dx\\\\A=2\left[ \frac{x^{ \frac{1}{3}+1 }}{\frac{1}{3}+1}- \frac{x^{1+1}}{1+1} \right]^1_0\\\\A=2\left[ \frac{x^{ \frac{4}{3} }}{\frac{4}{3}}- \frac{x^{2}}{2} \right]^1_0\\\\A=2\left[ \frac{3x^{ \frac{4}{3} }}{4}- \frac{x^{2}}{2} \right]^1_0.$

$A=2*\left[ \left( \frac{3*1^{ \frac{4}{3} }}{4}- \frac{1^{2}}{2} \left)- \left( \frac{3*0^{ \frac{4}{3} }}{4}- \frac{0^{2}}{2} \right)\right]$

$A=2* \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$