Matemática, perguntado por dsquassina, 1 ano atrás

⁡lim┬(x→a)⁡〖(∛x-∛a)/(x-a)〗

Soluções para a tarefa

Respondido por Nefertitii
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Temos o seguinte limite:

\lim_{x\rightarrow a} \frac{}{} \frac{ \sqrt[3]{x}  -  \sqrt[3]{a} }{x - a}  \\

A primeira coisa que devemos fazer é substituir o valor a qual o "x" tende no local do mesmo, só para constatar se há ou não indeterminação.

 \frac{ \sqrt[3]{x}  -  \sqrt[3]{a} }{x - a}  =  \frac{ \sqrt[3]{a} -  \sqrt[3]{a}  }{a - a}  =  \frac{0}{0}  \\

De fato surgiu uma indeterminação do tipo  \frac{0}{0}\\ para sumir com a mesma, devemos realizar alguma manipulação algébrica.

  • Observe que temos duas raízes cúbicas, isso nos remete ao produto notável chamado de cubo da diferença, que é dado por:

x {}^{3}  - a {}^{3}  = (x  - a).(x {}^{2 }  + x.a + a {}^{2} )  \\

Se você considerarmos que:

 \sqrt[3]{x}  -  \sqrt[3]{a}  \rightarrow x =  \sqrt[3]{x}  \:   \:  \: e \:  \: \:  a =  \sqrt[3]{a}   \\   ent \tilde{a}o :  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \\ ( \sqrt[3]{x}  -  \sqrt[3]{a} ).(x {}^{2}  + x.a + a {}^{2} ) \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:

Está faltando a parte de x² + x.a + a², então devemos usar esse termo como fator racionalizante, antes de multiplicar em cima e em baixo por esse termo, vamos descobrir a sua verdadeira expressão através da substituição do valor de "a" e "x":

(x {}^{2}  + x.a + a {}^{2} )  \rightarrow x =  \sqrt[3]{x}  \:  \:  \: e \:  \:  \: a =  \sqrt[3]{a}    \\  \boxed{( \sqrt[3]{x} ) {}^{2}  +  \sqrt[3]{x} . \sqrt[3]{a}  + ( \sqrt[3]{a} ) {}^{2}  }\:  \:  \:  \:  \:   \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:

Multiplicando a expressão por esse fator racionalizante:

 \frac{( \sqrt[3]{x} -  \sqrt[3]{a})  }{(x - a)} . \frac{ (\sqrt[3]{x {}^{2}  } +  \sqrt[3]{x} . \sqrt[3]{a}  +  \sqrt[3]{a {}^{2} } ) }{ (\sqrt[3]{x {}^{2} } +  \sqrt[3]{x}. \sqrt[3]{a}   +  \sqrt[3]{a {}^{2} }  )}   = \\  \\  \frac{ \sqrt[3]{x}. \sqrt[3]{x {}^{2} }  +  \sqrt[3]{x}. \sqrt[3]{x}. \sqrt[3]{a}  +  \sqrt[3]{x}. \sqrt[3]{a {}^{2} }   -  \sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{x {}^{2} } -  \sqrt[3]{a}  . \sqrt[3]{x}  . \sqrt[3]{a}  -  \sqrt[3]{a}. \sqrt[3]{a {}^{2} }    }{(x - a).( \sqrt[3]{x {}^{2}  } +  \sqrt[3]{x} . \sqrt[3]{a}   +  \sqrt[3]{a {}^{2} }) }  \\  \\  \frac{ \sqrt[3]{x {}^{3}  }  +   \sqrt[3]{x {}^{2} } . \sqrt[3]{a} +  \sqrt[3]{x}  . \sqrt[3]{a {}^{2} } -  \sqrt[3]{a}. \sqrt[3]{x {}^{2} }  -  \sqrt[3]{a {}^{2} } . \sqrt[3]{x}   -  \sqrt[3]{a {}^{3} }   }{( x - a).( \sqrt[3]{x {}^{2}  } +  \sqrt[3]{x}. \sqrt[3]{a}   +  \sqrt[3]{a {}^{2} }  }  \\  \\  \frac{ \cancel{x  - a}}{ \cancel{(x - a)}.( \sqrt[3]{x {}^{2} } +  \sqrt[3]{x} . \sqrt[3]{a}  +  \sqrt[3]{a {}^{2} })  }  \\  \\   \boxed{\frac{1}{ \sqrt[3]{x {}^{2} }  +  \sqrt[3]{x} . \sqrt[3]{a}  +  \sqrt[3]{a {}^{2} } } }Agora sumimos com a indeterminação, então vamos substituir o valor a qual o "x" tende e assim encontrar o valor do limite.

\lim_{x \rightarrow a}\frac{1}{ \sqrt[3]{x {}^{2} }  +  \sqrt[3]{x} . \sqrt[3]{a}  +  \sqrt[3]{a {}^{2} } } = \\  \\  \frac{1}{ \sqrt[3]{a {}^{2} } +  \sqrt[3]{a}. \sqrt[3]{a}   +  \sqrt[3]{a}  }   =  \frac{1}{ \sqrt[3]{a {}^{2} } +  \sqrt[3]{a {}^{2}}   +  \sqrt[3]{a {}^{2} }  }  =  \\  \\  \frac{1}{3 \sqrt[3]{a {}^{2} } }  =  \frac{1}{3 \sqrt[3]{a {}^{2} } } . \frac{ \sqrt[3]{a {}^{2} } }{ \sqrt[3]{a {}^{2} } }  =  \boxed{ \frac{ \sqrt[3]{a {}^{2} } }{3 \sqrt[3]{a {}^{4} } }  }

Por fim, temos que a o valor do limite é igual a:

 \boxed{\lim_{x\rightarrow a} \frac{}{} \frac{ \sqrt[3]{x}  -  \sqrt[3]{a} }{x - a}   =  \frac{ \sqrt[3]{a {}^{2} } }{3 \sqrt[3]{a {}^{4} } } }

Espero ter ajudado


Nefertitii: está na primeira?
Nefertitii: Tchau
Nefertitii: Apareça moço
Nefertitii: Boa noite
dsquassina: é a primeira vez que faço uma pergunta aqui. Muito obrigada mesmo.
Nefertitii: Por nada (ノ◕ヮ◕)ノ*.✧
dsquassina: vc é uma luz na escuridão. Muito obrigada.
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