Question

⁡lim┬(x→a)⁡〖(∛x-∛a)/(x-a)〗

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\lim_{x\rightarrow a} \frac{}{} \frac{ \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{a} }{x - a}$

A primeira coisa que devemos fazer é substituir o valor a qual o "x" tende no local do mesmo, só para constatar se há ou não indeterminação.

$\frac{ \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{a} }{x - a} = \frac{ \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{a} }{a - a} = \frac{0}{0}$

De fato surgiu uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$ para sumir com a mesma, devemos realizar alguma manipulação algébrica.

• Observe que temos duas raízes cúbicas, isso nos remete ao produto notável chamado de cubo da diferença, que é dado por:

$x {}^{3} - a {}^{3} = (x - a).(x {}^{2 } + x.a + a {}^{2} )$

Se você considerarmos que:

$\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{a} \rightarrow x = \sqrt[3]{x} \: \: \: e \: \: \: a = \sqrt[3]{a} \\ ent \tilde{a}o : \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ ( \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{a} ).(x {}^{2} + x.a + a {}^{2} ) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Está faltando a parte de x² + x.a + a², então devemos usar esse termo como fator racionalizante, antes de multiplicar em cima e em baixo por esse termo, vamos descobrir a sua verdadeira expressão através da substituição do valor de "a" e "x":

$(x {}^{2} + x.a + a {}^{2} ) \rightarrow x = \sqrt[3]{x} \: \: \: e \: \: \: a = \sqrt[3]{a} \\ \boxed{( \sqrt[3]{x} ) {}^{2} + \sqrt[3]{x} . \sqrt[3]{a} + ( \sqrt[3]{a} ) {}^{2} }\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Multiplicando a expressão por esse fator racionalizante:

$\frac{( \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{a}) }{(x - a)} . \frac{ (\sqrt[3]{x {}^{2} } + \sqrt[3]{x} . \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a {}^{2} } ) }{ (\sqrt[3]{x {}^{2} } + \sqrt[3]{x}. \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a {}^{2} } )} = \\ \\ \frac{ \sqrt[3]{x}. \sqrt[3]{x {}^{2} } + \sqrt[3]{x}. \sqrt[3]{x}. \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{x}. \sqrt[3]{a {}^{2} } - \sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{x {}^{2} } - \sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{x} . \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{a}. \sqrt[3]{a {}^{2} } }{(x - a).( \sqrt[3]{x {}^{2} } + \sqrt[3]{x} . \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a {}^{2} }) } \\ \\ \frac{ \sqrt[3]{x {}^{3} } + \sqrt[3]{x {}^{2} } . \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{x} . \sqrt[3]{a {}^{2} } - \sqrt[3]{a}. \sqrt[3]{x {}^{2} } - \sqrt[3]{a {}^{2} } . \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{a {}^{3} } }{( x - a).( \sqrt[3]{x {}^{2} } + \sqrt[3]{x}. \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a {}^{2} } } \\ \\ \frac{ \cancel{x - a}}{ \cancel{(x - a)}.( \sqrt[3]{x {}^{2} } + \sqrt[3]{x} . \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a {}^{2} }) } \\ \\ \boxed{\frac{1}{ \sqrt[3]{x {}^{2} } + \sqrt[3]{x} . \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a {}^{2} } } }$Agora sumimos com a indeterminação, então vamos substituir o valor a qual o "x" tende e assim encontrar o valor do limite.

$\lim_{x \rightarrow a}\frac{1}{ \sqrt[3]{x {}^{2} } + \sqrt[3]{x} . \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a {}^{2} } } = \\ \\ \frac{1}{ \sqrt[3]{a {}^{2} } + \sqrt[3]{a}. \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a} } = \frac{1}{ \sqrt[3]{a {}^{2} } + \sqrt[3]{a {}^{2}} + \sqrt[3]{a {}^{2} } } = \\ \\ \frac{1}{3 \sqrt[3]{a {}^{2} } } = \frac{1}{3 \sqrt[3]{a {}^{2} } } . \frac{ \sqrt[3]{a {}^{2} } }{ \sqrt[3]{a {}^{2} } } = \boxed{ \frac{ \sqrt[3]{a {}^{2} } }{3 \sqrt[3]{a {}^{4} } } }$

Por fim, temos que a o valor do limite é igual a:

$\boxed{\lim_{x\rightarrow a} \frac{}{} \frac{ \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{a} }{x - a} = \frac{ \sqrt[3]{a {}^{2} } }{3 \sqrt[3]{a {}^{4} } } }$

Espero ter ajudado