Question

Calcule a área a região, limitada pelo gráfico da função y = g(x) = 1+Raiz de x, e o eixo dos x, entre os limites x=1 e x=4.

Answer 1

$\int\limits^1_4 {1} \, dx = 4 - 1 = 3$

$\int\limits^1_4 {x^{1/2} } \, dx = \frac{x^{(1/2)+1}}{(1/2)+1}=\frac{x^{3/2}}{3/2} = x^{3/2}*2/3$

para x=4:
$4^{3/2}*2/3 = \sqrt{4^{3}}*2/3 = \sqrt{64}*2/3 = 8*2/3 = 16/3$
para x=1:
$\sqrt{1^{3}}*2/3 = 2/3$

agora tirando a diferença:
$\frac{16}{3}- \frac{2}{3} = 14/3$

ótimo , agora tirando a diferença entre as integrais :
3 + 14/3 = (9+14)/3 = 23/3

Answer 2

Olá, Eferreiralima!
Acabei de concluir o ensino médio, mas tentarei resolver isso:
Primeiro devemos achar a integrada da função:
$f(x)=1+\sqrt{x}$
$\int({1+\sqrt{x})\,dx$
$\int({1+\sqrt{x})\,dx=\int(1)\,dx+\int(\sqrt{x})\,dx$

$\int(1)\,dx=x$
$\int(\sqrt{x})\,dx=\int(x^{0.5})\,dx=\frac{x^{1.5}}{1.5}+C$

$\int({1+\sqrt{x})\,dx = x + \frac{x^{1.5}}{1.5} + C$

A área entre 1 e 4 se dá pela integrada definida:

$\int\limits^4_1{x}\,dx=F(4)-F(1)=$
$(4 + \frac{4^{1.5}}{1.5})-(1 + \frac{1^{1.5}}{1.5})$
$(4 + \frac{8}{1.5})-(1 + \frac{1}{1.5})$
$\frac{6}{1.5}+\frac{8}{1.5}-\frac{1.5}{1.5}-\frac{1}{1.5}$
$\frac{11.5}{1.5}$

A área é aproximadamente 7.66 então.