Question

Calcule a altura H e o seno do ângulo diedro formado por duas faces quaisquer de um tetraedro regular cujas arestas medem "a" cm.

Answer 1

Olá marina

tentei aqui na raça, mas não sei se acertei não ok?

Bom, o que eu fiz primeiro foi o seguinte:

Todos os triângulos desse diedro são equiláteros, pois a questão afirma que todas as arestas medem ''a cm''. assim para descobrir a altura H, eu primeiro descobri a altura ''X'' do triângulo equilátero, ou seja seja, traça a altura do triângulo equilátero e você terá o triângulo com os ângulos medindo 30º, 60º e 90º,

O lado oposto ao de 30º mede ''a/2'',  o lado oposto a 90º mede ''a'' e o lado oposto a 60º
que é a nossa altura do triângulo equilátero, mede ''X'', de cara você já pode afirmar sem fazer cálculo nenhum que X = a√3/2, mas se quiser confirmar mesmo, é só fazer pitágoras que fica:

a² = x² + (a/2)²

a² = x² + a²/4

x² = a² - a²/4

x² = 4a²/4 - a²/4

√x² = √3a²/4

x = a√3/2

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feito isso agora vamos descobrir a altura H do seu diedro:

* primeiro você tem de ter a noção de que toda altura forma um ângulo de 90º com sua base, assim trace uma reta que una o ponto da base ao lado oposto ''a'', esse pedaço formado por esse segmento de reta ,mede um terço da altura do seu triângulo equilátero, ou seja: a√3/2/3 = a√3/6. Agora no ponto lá em cima da sua altura H trace uma reta que vai ligar ao ''chão'' do lado ''a'' do seu triângulo. Perceba que essa reta é justamente a altura do triângulo equilátero que encontramos anteriormente

Pronto, agora você tem um triângulo retângulo com a base medindo a√3/6, a altura medindo H, e o lado oposto a 90º medindo a√3/2. Agora é só fazer Pitágoras:

(a√3/2)² = H² + (a√3/6)²

3a²/4 = H² + 3a²/36 < (simplifica 3/36 = 1/12)

3a²/4 - 1a²/12 = H²

H² = 9a²/12 - 1a²/12

H² = 8a²/12

√H² = √2a²/3

H = a√2/3

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a questão que pede o seno não consegui fazer ainda, mais pra frente qualquer coisa eu posso voltar nela.

Bom, tenho certeza se acertei ou não, mas pensei por esse caminho

dúvidas ou erro só falar que a gente tenta dar um jeito, eu acho legal essas questões assim de geometria.

abraço