Matemática, perguntado por brendamabare, 10 meses atrás

calcule a(4) na progressão 3,5,7,...

Soluções para a tarefa

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Observação 1: Por se tratar de um termo de ordem baixa (quarto termo), ele poderia ser obtido de uma maneira mais simples. Porém, nesta resolução, será privilegiado o método mais longo, por meio da equação do termo geral da progressão aritmética, que permite encontrar quaisquer termos, e, mais facilmente, os localizados em posições maiores.

Da progressão (3, 5, 7, ...), tem-se:

a)trata-se de uma progressão aritmética, porque cada termo subsequente (que vem após) é determinado por meio de um número constante, a razão. Nota-se, nesta questão, que entre 3 e 5 e entre 5 e 7 existe duas unidades de diferença.

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 3

c)quarto termo (a₄): ?

d)número de termos (n): 4 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 4ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do quarto termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 2: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 5 - 3 ⇒

r = 2 (Razão positiva, conforme prenunciado no item d acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o quarto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₄ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₄ = 3 + (4 - 1) . (2) ⇒

a₄ = 3 + (3) . (2) ⇒ (Veja a Observação 3.)

a₄ = 3 + 6 ⇒

a₄ = 9

Observação 3: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O 4º termo da P.A(3, 5, 7, ...) é 9.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₄ = 9 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o quarto termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₄ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

9 = a₁ + (4 - 1) . (2) ⇒

9 = a₁ + (3) . (2) ⇒

9 = a₁ + 6 ⇒ (Passa-se 6 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

9 - 6 = a₁ ⇒

3 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 3 (Provado que a₄ = 9.)

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