Question

calcule ∫ (2x-3). e ^1-3x dx

Answer 1

Resposta:

e¹⁻³ˣ . ( 2x -  7  ) + C

                    3

Explicação passo-a-passo:

∫ (2x-3). e¹⁻³ˣ dx

∫u dv = uv - ∫ v du

u = 2x -3                              dv = e¹⁻³ˣ  dx

du = 2                                 v = ∫ e¹⁻³ˣ dx  =   -1  e¹⁻³ˣ

dx                                                                    3

du = 2dx

∫ (2x-3). e¹⁻³ˣ dx  =  (2x-3). e¹⁻³ˣ  - ∫e¹⁻³ˣ . 2 dx

                                 

= (2x-3). e¹⁻³ˣ   -  (- 1 )e¹⁻³ˣ . 2

                             3

= (2x-3). e¹⁻³ˣ   +  2 e¹⁻³ˣ  

                            3

=2xe¹⁻³ˣ  - 3e¹⁻³ˣ   + 2 e¹⁻³ˣ  

                                3

= 2xe¹⁻³ˣ   - 9 e¹⁻³ˣ + 2 e¹⁻³ˣ  

                         3

= 2xe¹⁻³ˣ    -   7e¹⁻³ˣ    + C

                       3

=e¹⁻³ˣ . ( 2x -  7  ) + C

                      3

Answer 2

Integral por partes:

$\mathsf{\int\limits \, u\cdot du=uv-\int\limits \, v\cdot dv}$

Desta forma:

$\mathsf{\int\limits \, (2x-3)e^{1-3x}  \cdot dx}$

Sendo:

$\mathsf{u=2x-3}$

$\mathsf{v=e^{1-3x}}$

$\mathsf{du=2dx}$

$\mathsf{dv=-3e^{1-3x}dx}$

Calculando:

$\mathsf{\int\limits \, (2x-3)(-3)e^{1-3x}=(2x-3)e^{1-3x}-\int\limits \, e^{1-3x}2 dx}$

$\mathsf{-3\int\limits \, (2x-3)e^{1-3x}=(2x-3)e^{1-3x}-2\int\limits \, e^{1-3x} dx}$

Agora surge a necessidade de usar integral por substituição:

$\mathsf{w=1-3x}$

$\mathsf{dw=-3dx}$

Continuando:

$\mathsf{-3\int\limits \, (2x-3)e^{1-3x}=(2x-3)e^{1-3x}-2\int\limits \, e^{w} \dfrac{dw}{(-3)}}$

$\mathsf{-3\int\limits \, (2x-3)e^{1-3x}=(2x-3)e^{1-3x}+\dfrac{2}{3}\int\limits \, e^{w}dw}$

$\mathsf{-3\int\limits \, (2x-3)e^{1-3x}=(2x-3)e^{1-3x}+\dfrac{2}{3}e^{w}}$

$\mathsf{-3\int\limits \, (2x-3)e^{1-3x}=(2x-3)e^{1-3x}+\dfrac{2}{3}e^{1-3x}}$

$\mathsf{\int\limits \, (2x-3)e^{1-3x}=-\dfrac{1}{3}(2x-3)e^{1-3x}-\dfrac{2}{9}e^{1-3x}}$

$\mathsf{\int\limits \, (2x-3)e^{1-3x}=-\dfrac{1}{3}e^{1-3x}[(2x-3)+\frac{2}{3}]}}$

$\mathsf{\int\limits \, (2x-3)e^{1-3x}=-\dfrac{1}{3}e^{1-3x}[2x-\frac{7}{3}]}}$

$\mathsf{\int\limits \, (2x-3)e^{1-3x}=-\dfrac{2}{3}xe^{1-3x}+\dfrac{7}{9}e^{1-3x}+C}}$

Bons estudos!