Question

Calcular os valores de m e n para que a reta ry=2x-3 z=-x+4 esteja contida no plano nx+my-z-2=0

Answer 1

para solucionar a questão devemos resolver o sistema:
y=2x-3
z=-x+4
nx+my-z-2=0

assim, substituindo o valor de y e x na ultima equação temos:
  ⇔ nx+m(2x-3)+x-4-2=0

colocando x e evidência:
  ⇔x(n+2m+1)-3m-6=0
  
assim temos n+2m+1=0 e -3m-6=0
resolvendo a segunda encontramos n=3, substitua na primeira e encontrará m=-2.

Answer 2

Os valores de m e n são -2 e 1/2.

Na reta, considere que x = t, t ∈ IR. Assim, temos que as equações paramétricas da reta r são iguais a:

{x = t

{y = 2t - 3

{z = -t + 4.

Para que r esteja contida no plano nx + my - z = 2, os vetores direção da reta e normal ao plano deverão ser perpendiculares.

Além disso, os pontos da reta r deverão pertencer ao plano.

O vetor direção de r é u = (1,2,-1). Já o vetor normal do plano é v = (m,n,-1). Assim, temos que:

<u,v> = 0

m + 2n + 1 = 0

m + 2n = -1.

Da paramétrica, o ponto P = (0,-3,4) pertence a r. Então, deverá pertencer ao plano:

-3m - 4 = 2

-3m = 6

m = -2.

Logo,

-2 + 2n = -1

2n = 1

n = 1/2.

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