Question

Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos valores v1(0,-1,2), v2(-4,2,-1) e v3(3,m,-2) seja igual a 33. Calcular a altura deste paralelepípedo relativa à base definida por v1 e v2.​

Answer 1

Os valores de m são -17/4 ou 4. A altura é igual a 33/√89.

O volume de um paralelepípedo é determinado pelo módulo do produto misto entre os vetores v₁ = (0,-1,2), v₂ = (-4,2,-1) e v₃ = (3,m,-2).

Para calcular o produto misto, devemos calcular o determinante $\left[\begin{array}{ccc}0&-1&2\\-4&2&-1\\3&m&-2\end{array}\right]$.

Sendo assim, temos que:

[v₁, v₂, v₃] = 0.(2.(-2) - m.(-1)) - (-1).((-4).(-2) - 3.(-1)) + 2.((-4).m - 3.2)

[v₁, v₂, v₃] = 8 + 3 + 2(-4m - 6)

[v₁, v₂, v₃] = 11 - 8m - 12

[v₁, v₂, v₃] = -8m - 1.

Como o volume deve ser igual a 33, temos que:

|-8m - 1| = 33.

Temos duas possibilidades:

-8m - 1 = 33 ou -8m - 1 = -33.

De -8m - 1 = 33, temos que:

-8m = 34

m = -17/4.

De -8m - 1 = -33, temos que:

-8m = -32

m = 4.

Para determinar a altura relativa à base definida por v₁ = (0,-1,2) e v₂ = (-4,2,-1), vamos calcular a norma do produto vetorial v₁ x v₂.

Assim, temos que:

v₁ x v₂ = i((-1).(-1) - 2.2) - j(0.(-1) - (-4).2) + k(0.2 - (-4).(-1))

v₁ x v₂ = -3i - 8j - 4k

v₁ x v₂ = (-3,-8,-4).

Portanto:

||v₁ x v₂|| = √89.

Sabemos que o volume de um paralelepípedo é igual ao produto da área da base pela altura.

Logo:

33 = h.√89

h = 33/√89.