Question

Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u=(0, -1, 2), v=(-4, 2, -1), w=(3, m, -2) seja igual a 33.

Answer 1

Para que o volume do paralelepípedo seja 33, m deve ser igual a 4 ou igual a -17/4.

Vamos utilizar o Volume Misto para acharmos o volume do paralelepípedo. Vale ressaltar que utilizaremos os vetores na ordem dada, ou seja e, v e w.

Podemos aplicar aqui um macete, vamos "gerar" a matriz com os vetores e depois calcular o seu determinante. No final, teremos o volume do sólido gerado pelos três.

$\left[\begin{array}{ccc}u\\v\\w\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0&-1&2\\-4&2&-1\\3&m&-2\end{array}\right]$

Seu determinante será:

$det(\left[\begin{array}{ccc}0&-1&2\\-4&2&-1\\3&m&-2\end{array}\right]) = 0 + 3 - 8m - 12 + 0 + 8 = -1 - 8m = -(8m + 1)$

Nesse caso, o volume do paralelepípedo é:

V = |- (8m+ 1)| = 33

Portanto, m será:

-(8m + 1) = 33

8m + 1 = - 33

8m = - 34

m = -17/4

Ou ainda:

-(8m + 1) = - 33

8m + 1 = 33

8m = 32

m = 4

Logo m = -17/4 e m = 4.

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