Question

Calcular o valor da velocidade térmica (ligada com o valor da energia média) das moleculas do ar com a temperatura ambiente

Answer 1

DEMONSTRAÇÂO: (caso não compreenda cálculo integral e diferencial e não esteja no nível superior [apesar do seu perfil e questão indicarem isso] pule para a parte da resolução)
Para um mol de gás idela consideramos:$PV=nRT$onde$R=8,136\frac{J}{mol\cdot K}$e$n=1~mol$Para chegar à teoria cinética da pressão consideramos que as moléculas do gás são esferas maciças que realizam colisões perfeitamente elásticas, ou seja, a colisão dessas moléculas entre si é perfeitamente elástica e seu único efeito é mudança do módulo da velocidade inicial. Pelo princípio da conservação do momento (considerando apenas a direção x):$\Delta p_x=mv_x-(-mv_x)=2mv_x$estamos considerando um mol de moléculas com velocidade 1 na direção x, no caso real teremos moléculas com velocidade em diferentes direções (2,3,4,5,...,),  o número total de moléculas que atravessarão com velocidade 1 a superfície inferior desse cilindro é:$dn_1=n_1v_{1x}dSdt$cada colisão transfere à parede uma quantidade $\Delta p_{1x}$ de momento, ou seja o momento infinitesimal transferido por essas moléculas será:$dp_{1x}=dn_1\Delta p_{1x}=2mn_1v_{1x}^{2}dSdt$pela segunda lei de Newton sabemos que:$\displaystyle dF=\frac{dp}{dt}$e que pressão é:$\displaystyle P=\frac{dF}{dS}$ou seja:$\displaystyle P_1=\frac{\partial^2 p_{1x}}{\partial t\partial S }$então:$\displaystyle P_1=2mn_1v_{1x}^2$é a pressão exercída sobre a parede pelo feixe de moléculas com velocidade 1x, a pressão total de todos os N feixes que colidem com a superfície do cilindro é dado por:$\displaystyle P=2m\sum_{v_{1x}<0}^{N}n_iv_{ix}^{2}\implies m\sum_{i}^{N}n_iv_{ix}^2$tomando o valor médio da velocidade:$\displaystyle \left<v_x^2\right> =\frac{\sum_i n_iv_{ix}^2}{\sum_in_i}$a pressão equivalente é:$P=nm\left< v_{ix}^2\right>$pela isotropia chegamos finalmente à fórmula:$\displaystyle P=\frac{1}{3}nm\left<v^2\right>$N é o total de molécula por volume ou seja:$\displaystyle \left<K\right> =\frac{1}{2}Nm\left<v_{ix}^2\right>$é a energia cinética média total das moléculas do gás o que implica:$\displaystyle P=\frac{2\left<K\right> }{3V}$A energia interna total do gás que pode ser identificada como sendo a energia cinética total do gás é $\displaystyle \left<K\right>$ se tomarmos $N=N_0$ onde $N_0$ é o número de Avogadro a energia total por mol é:$\displaystyle \left<K\right> _{mol}=\frac{1}{2}N_0m\left<v^2\right>$Substituindo na Lei dos Gases Perfeitos:$\displaystyle i)~~~~PV=RT\\\\ii)~~~PV=\frac{2}{3}\left<K\right>_{mol}=RT\\\\iii)~~\left<K\right>_{mol}=\frac{3}{2}RT\\\\iv)~~\frac{1}{2}N_0m<v^2\right> =\frac{3}{2}RT\\\\v)~~\frac{1}{2}m\left<v^2\right> =\frac{3}{2}\frac{R}{N_0}T$tal que$\displaystyle \frac{R}{N_0}=k=1,38\cdot 10^{-23}\frac{J}{mol\´{e}culas~K}$(k = constante de Boltzmann)ou seja:$\displaystyle vi)~~\boxed{\left<v^2\right>=3\frac{kT}{m}}$é a fórmula que procurávamos que relaciona velocidade média das moléculas de um gás com sua temperatura:Considerando a temperatura ambiente como sendo 25ºC (298K), obtemos:
RESOLUÇÃO:Pela relação que encontramos anteriormente entre velocidade média das moléculas de um gás com sua temperatura:$\displaystyle \left<v^2\right>=3\frac{kT}{m}$a massa molecular média do ar é:$m=28,9645~g.mol^{-1}\implies M=N_0\cdot \left<M\right>_{mol}=\frac{0,48\cdot 10^{-25}~kg}{mol}=0,48\cdot 10^{-25}~\frac{kg}{mol}$é a massa média por mol de arEntão:$\displaystyle v_{qm}=\left<v\right> =\sqrt{\left< v^2\right> }=\sqrt{3\frac{kT}{\left<M\right>}}$é a velocidade quadrática média das moléculas do gás e é a relação que procurávamos:
$\displaystyle i)~~~~\left<v\right> =\sqrt{3\frac{1,38\cdot 298\cdot 10^{-23}~J~K~mol}{0,48\cdot 10^{-25}~kg~mol~K}}\\\\ii)~~~\left<v\right> =\sqrt{3\frac{411,1}{0,48}\cdot 10^{2}~m^2/s^2}\\\\iii)~~\left<v\right> =\sqrt{256937,5~m^2/s^2}\\\\iv)~~\left<v\right>\approx 507\frac{m}{s}$
então a velocidade quadrática média do ar na temperatura ambiente é aproximadamente:
$\boxed{\left<v\right>\approx507\frac{m}{s}}$

Caso haja alguma dúvida comentar abaixo, se houver problemas para visualizar a resposta acesse-a pelo site através do link:https://brainly.com.br/tarefa/10557799