Question

calcular o limite(x²+x-2)/(2x²-x-1)(x-->1)

Answer 1

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2+x-2}{2x^2-x-1} = \frac{0}{0}$

fatorando o numerador
a forma fatorada da equação do segundo grau é
$A*(x-r')*(x-r'')$

r' e r'' são as raízes da equação
como quando vc substituiu x por 1 o resultado deu 0 
significa que 1 é uma das raízes r'=1

por soma e produto
o produto das raízes é 
$\boxed{r'*r'' = \frac{C}{A} }$

no numerador temos x²+x-2 
A=1 ,B=1 , C=-2
uma das raízes é r'=1
$1*r''= \frac{-2}{1} \\\\\boxed{r''=-2}$

a outra raíz é -2 
então o numerador na forma fatorada fica
$(x^2+x-2) = 1*(x-1)*(x-(-2))\\\\\boxed{\boxed{(x^2+x-2) =(x-1)*(x+2)}}$


repetindo o processo para o denominador
2x²-x-1 
A= 2 , B=-1 , C=-1

uma das raízes tbm é 1
$1*r''= \frac{-1}{2} \\\\\boxed{r''= \frac{-1}{2} }$

o denominador na forma fatorada fica
$(2x^2-x-1 )=2*(x-1)*(x-( \frac{-1}{2} ))\\\\\boxed{\boxed{(2x^2-x-1 )= 2*(x-1)*\left(x+ \frac{1}{2}\right ) }}$

reescrevendo o limite

$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)*(x+2)}{ 2*(x-1)*\left(x+ \frac{1}{2}\right ) } \\\\ \lim_{x \to 1} \frac{(x+2)}{ 2*\left(x+ \frac{1}{2}\right ) } = \frac{(1+2)}{ 2*\left(1+ \frac{1}{2}\right ) } =1$