Question

calcular o limite $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{x+5}}{ \sqrt{x} +5}$

Answer 1

$\lim\limits_{x\rigntarrow\infty}\dfrac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x}+5}$

Como $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\sqrt{x+5}=\infty$ e $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\sqrt{x}+5=\infty$, podemos usar a regra de L'Hospital
_____________________________________

Regra de L'Hospital

Se

$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=\pm\infty~~e~~\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=\pm\infty$

ou

$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=0~~e~~\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=0$

Então

$\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$

Se o limite da direita existir

('a' pode ser ∞ ou -∞)
_____________________________________

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x}+5}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\frac{d}{dx}(\sqrt{x+5})}{\frac{d}{dx}(\sqrt{x}+5)}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x}+5}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{(\frac{1}{2\sqrt{x+5}})\cdot\frac{d}{dx}(x+5)}{(\frac{1}{2\sqrt{x}})+0}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x}+5}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{(\frac{1}{2\sqrt{x+5}})\cdot1}{(\frac{1}{2\sqrt{x}})}$

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x}+5}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{1}{2\sqrt{x+5}}\cdot\dfrac{2\sqrt{x}}{1}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x}+5}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+5}}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x}+5}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\sqrt{\dfrac{x}{x+5}}$

Dividindo em cima e embaixo por x:

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x}+5}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\sqrt{\dfrac{1}{1+(\frac{5}{x})}}$

Como $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{5}{x}=0$, então

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x}+5}=\sqrt{\dfrac{1}{1+0}}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x}+5}=\sqrt{\dfrac{1}{1}}\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x}+5}=1}}$