Question

Calcular o ângulo interno e o ângulo externo do polígono regular que possui 35 diagonais:
a) 150° e 30°
b) 145° e 35°
c) 160° e 20°
d) 144° e 36°
e) 136° e 44°
Obrigada!!!!

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Diujix, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i)  Pede-se para calcular o ângulo interno e o ângulo externo do polígono regular que possui 35 diagonais.

ii) Veja que primeiro vamos saber que polígono é esse. E, para isso, vamos utilizar a fórmula que dá o número de diagonais de um polígono regular, que é esta:

d = n*(n-3)/2 , em que "d" é o número de diagonais e "n" é o número de lados do polígono regular.

Assim, como já foi dado que esse polígono tem 35 diagonais, então vamos substituir "d" por "35". Assim teremos:

35 = n*(n-3)/2  --- multiplicando-se em cruz, teremos;
2*35 = n*(n-3)
70 = n*(n-3) ---- efetuando o produto indicado no 2º membro, temos;
70 = n² - 3n ----- passando "70" para o 2º membro, temos:
0 = n² - 3n - 70 ---- vamos apenas inverter, ficando:
n² - 3n - 70 = 0 ----- Agora vamos aplicar Bháskara, cuja fórmula é esta:

n = [-b ±  √(Δ)]/2a ----- sendo Δ = b²-4ac. Assim, substituindo-se, temos:
n = [-b ± √(b²-4ac)]/2a

Note que a equação da sua questão tem os seguintes coeficientes:

a = 1 ---- (é o coeficiente de n²)
b = -3 --- (é o coeficiente de n)
c = -70 -- (é o coeficiente do termo independente).

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara acima, teremos;

n = [-(-3) ± √(-3)² - 4*1*(-70))]/2*1
n = [3 ± √(9 + 280)]/2
n = [3 ± √(289)]/2 ----- note que √(289) = 17. Logo:
n = [3 ± 17]/2 ---- daqui você já conclui que:

n' = (3 - 17)/2 = (-14)/2 = - 7
n'' = (3+17)/2 = (20)/2 = 10

Agora note que o número de lados de um polígono regular não pode ser negativo. Então descartaremos a raiz negativa (-7) e ficaremos apenas com a raiz positiva e igual a:

n = 10 lados <--- Este é o número de lados do polígono da sua questão. É um decágono, que é o polígono regular que tem 10 lados.

iii) Finalmente, agora vamos dar a medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo de um decágono.

iii.1) Para calcular a medida de um ângulo interno de um polígono utilizamos a seguinte fórmula:

ai = 180*(n-2)/n , em que "ai" é a medida de um ângulo interno e "n" é o número de lados. Assim, substituindo-se "n" por "10" (que é o número de lados de um decágono), teremos:

ai = 180*(10-2)/10
ai = 180*(8)/10 --- ou apenas:
ai = 180*8/10
ai = 1.440/10
ai = 144º <--- Esta é a medida de um ângulo interno de um decágono.

iii.2) Para calcularmos a medida de um ângulo externo de qualquer polígono regular, utilizamos a seguinte fórmula:

ae = 360/n , em que "ae" é a medida de um ângulo externo e "n" é o número de lados. Note, a propósito, que a soma dos ângulos externos de um polígono regular SEMPRE será igual a 360º, não importando o número de lados que tenha esse polígono regular.
Assim, substituindo-se "n" pro "10" (que é o número de lados do decágono), teremos:

ae = 360/10
ae = 36º <--- Esta é a medida de um ângulo externo do decágono regular.

iv) Assim, resumindo, temos que a medida de um ângulo interno e de um ângulo externo de um decágono regular será de, respectivamente:

144º e 36º <--- Esta é a resposta. Opção "d".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.