Question

calcular log81  1/243

Answer 1

Olá.

Essa é uma questão de logaritmos.

Usaremos a propriedade uma propriedade de logaritmos:
$\diamondsuit~\Large\begin{array}{l}\boxed{\boxed{\mathsf{log_{a^y}(a^x)=\dfrac{x}{y}}}}}\end{array}$,

Onde a fração é o resultado final.

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Temos a expressão:
$\mathsf{log_{81}~\left(\dfrac{1}{243}\right)}$

Fatorando o 81 e o 243, teremos:

$\begin{array}{r|l}81&3\\27&3\\9&3\\3&3\\1\end{array}$
81 = 3⁴

$\begin{array}{r|l}243&3\\81&3\\27&3\\9&3\\3&3\\1\end{array}$
243 = 3⁵

Substituindo os valores, podemos descobrir o resultado final. Teremos:
$\mathsf{log_{81}~\left(\dfrac{1}{243}\right)}\\\\\\\mathsf{log_{3^4}~\left(\dfrac{1}{3^5}\right)}$

Quando um número tem o número 1 no numerador, podemos dizer que o denominador está com expoente negativo. Logo, basta colocar o expoente 5 negativo e inverter. Teremos:
$\mathsf{log_{3^4}~\left(\dfrac{1}{3^5}\right)}\\\\\\\mathsf{log_{3^4}~\left(3^{-5}\right)}$

Usando a propriedade supracitada, teremos:
$\mathsf{log_{3^4}~\left(3^{-5}\right)}\\\\\\ \boxed{\mathsf{log_{3^4}~\left(3^{-5}\right)=\dfrac{-5}{4}=1,25}}$

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$