Question

Calcular as derivadas das funções $y=-\frac{1}{x^{3} }$ e $f(x) = (3+\frac{1}{x} ) * (6x-1)$

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~y'=\dfrac{3}{x^4}~\left|~b)~f'(x)=\dfrac{1}{x^2}+18}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para encontrarmos as derivadas destas funções, devemos relembrar algumas técnicas de derivação.

a)  $y=-\dfrac{1}{x^3}$

Lembre-se que:

• A derivada do produto entre uma constante e uma função é igual ao produto entre a constante e a derivada da função, ou seja: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma função racional $y=\dfrac{u}{v}$ é dada pela regra do quociente: $y'=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\cdot v-v'\cdot u}{v^2}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Diferenciamos ambos os lados da função em relação a $x$

$y'=\left(-\dfrac{1}{x^3}\right)'$

Aplique as regras do produto e a regra do quociente

$y'=-\dfrac{1'\cdot x^3-(x^3)'\cdot 1}{(x^3)^2}$

Aplique as regras da constante e da potência

$y'=-\dfrac{0\cdot x^3-3\cdot x^2\cdot 1}{x^{3\cdot 2}}$

Multiplique os valores

$y'=\dfrac{3x^2}{x^{6}}$

Simplifique a fração, lembrando que $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

$y'=\dfrac{3}{x^{4}}$

Esta é a derivada desta função.

b) $f(x)=\left(3+\dfrac{1}{x}\right)\cdot(6x-1)$

Para derivarmos esta, lembre-se que:

• A derivada de um produto de funções é calculada pela regra do produto: $y'=(u\cdot v)'=u'\cdot v+v'\cdot u$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, isto é: $y'=(u\pm v)'=u'\pm v'$.

Diferencie ambos os lados em relação a $x$

$f'(x)=\left[\left(3+\dfrac{1}{x}\right)\cdot(6x-1)\right]'$

Aplique a regra do produto

$f'(x)=\left(3+\dfrac{1}{x}\right)'\cdot(6x-1)+(6x-1)'\cdot \left(3+\dfrac{1}{x}\right)$

Aplique a regra da soma

$f'(x)=\left(3'+\left(\dfrac{1}{x}\right)'\right)\cdot(6x-1)+((6x)'-(1)')\cdot \left(3+\dfrac{1}{x}\right)$

Aplique as regras da constante, do quociente e da potência

$f'(x)=\left(0+\dfrac{1'\cdot x-x'\cdot 1}{x^2}\right)\cdot(6x-1)+(6\cdot 1-0)\cdot \left(3+\dfrac{1}{x}\right)\\\\\\ f'(x)=\left(\dfrac{0\cdot x-1\cdot 1}{x^2}\right)\cdot(6x-1)+6\cdot \left(3+\dfrac{1}{x}\right)$

Multiplique e some os valores

$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\cdot(6x-1)+6\cdot \left(3+\dfrac{1}{x}\right)$

Efetue a propriedade distributiva

$f'(x)=-\dfrac{6x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}+18+\dfrac{6}{x}$

Simplifique a primeira fração

$f'(x)=-\dfrac{6}{x}+\dfrac{1}{x^2}+18+\dfrac{6}{x}$

Some os termos semelhantes

$f'(x)=\dfrac{1}{x^2}+18$

Esta é a derivada desta função.