Question

1) determine o limite da sucessão.

a) lim [√(n+2) - 1]/n+2
ⁿ→°°

b) lim [ 1 - √(n+2)] /n+2
ⁿ→°°

Answer 1

Vamos lá.

Estudosa, para ambas as questões propostas vamos dar uma explicação diferente daquela que demos numa outra mensagem sua sobre este mesmo assunto.
a)

lim [√(n+2) - 1]/(n+2)
n-->∞

Note que se formos substituir diretamente o "n" por "∞" iremos ficar com algo como "∞/∞" o que é uma indeterminação. Então deveremos levantar essa indeterminação. Para isso, poderemos trabalhar com a derivada do numerador e do denominador, calculadas de forma independente. Note que a derivada do numerador √(n+2) - 1 será: 1/2√(n+2) e a derivada do denominador (n+2) será "1".  Assim, ficaremos com: 

lim [1/2√(n+2)] / 1 ------ ou apenas:
n-->∞

lim [1/2√(n+2)] ---- substituindo "n" por ∞ ficaremos com:
n-->∞

lim [1/2√(n+2)] = 1/2√(∞+2) = 1/2*∞ = 1/∞ = 0
n-->∞

Note que "1" sobre infinito dá um número tão pequeno que se aproxima do zero.


b)

lim [1-√(n+2)]/(n+2)
n-->∞

Utilizando o mesmo raciocínio da questão anterior, note que a derivada do numerador 1-√(n+2) será: - 1/2√(n+2); e a derivada do denominador é "1". Assim, ficaremos:

lim [-1/2√(n+2)] / 1 ----- ou apenas:
n-->∞

lim [-1/2√(n+2)] ---- substituindo-se "n" por ∞, teremos:
n-->∞

lim [-1/2√(n+2)] = -1/2*√(∞+2) = -1/2*∞ = -1/∞ = 0
n-->∞

Note que caímos no mesmo caso da questão do item "a", quando temos algo dividido por infinito que terá como resultado um número tão pequeno que se aproximará de zero. A propósito, veja que: "-1/∞" é a mesma coisa que: -(1/∞) = -(0) = -0 = 0 .

É isso aí. 
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.