Question

Calcular Área e Perímetro da figura abaixo:


Dados:

Seguimento AB = 10m
Seguimento CF = 14m
Seguimento BC = 16m
Seguimento EGD = formam ângulo de 30° Ê
Seguimento BE = 10√2


Respostas somente com as explicações!!
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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Geometria plana

Vamos primeiro achar a medida AE, pelo Teorema do Pitágoras :

$\sf{ \red{ \overline{AB}^2 + \overline{AE}^2~=~ \overline{BE}^2 } }$

$\iff \sf{ 10^2 + x^2~=~ (10\sqrt{2})^2 }$

$\iff \sf{ x^2~=~ 200 - 100 }$

$\iff \sf{ x^2~=~ 100 }$

$\iff \sf{ x~=~ \sqrt{100} }$

$\iff \boxed{ \pink{ \sf{x~=~ \overline{AE}~=~ 10m } }}$

_________________________________________________________________________

Vamos achar a medida EG, a princípio devemos tračar uma perpendicular a AD, vamos ter um triângulo rectângulo. uma vez que temos um ângulo de 30graus, usando a trigonometria podemos ter :

$\iff \sf{ \sin(30^{\circ})~=~ \dfrac{4}{\overline{EG}} }$

$\iff \sf{ \dfrac{1}{2}~=~ \dfrac{4}{\overline{EG}} }$

$\iff \sf{ \dfrac{ \overline{EG} }{ 4 }~=~ 2 }$

$\iff \sf{ \red{ \overline{EG} ~=~ 8m } }$

Achando o cateto adjacente do triângulo :

$\iff \sf{ \cos(30^{\circ})~=~ \dfrac{y}{8} }$

$\iff \sf{ \dfrac{ \sqrt{3} }{2} ~=~ \dfrac{y}{8} }$

$\iff \sf{ \sqrt{3}~=~ \dfrac{y}{4} }$

$\blue{ \iff \sf{ y~=~ 4\sqrt{3}m } }$

Deste modo conclui-se que :

$\iff\sf{ y + k ~=~ 16 - x }$

$\iff \sf{ 4\sqrt{3} + k ~=~ 16 - 10 }$

$\iff \sf{\pink{ k~=~ (6 - 4\sqrt{3})m } }$

Logo o perímetro vai ser :

$\purple{ \sf{ P~=~ \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CF} + \overline{ AE } + \overline{ EG } + \overline{ FG } }}$

$\sf{ P~=~ 10 + 16 + 14 + 10 + 8 + 6-4\sqrt{3} }$

$\boxed{ \sf{ \purple{ P~=~ 64 - 4\sqrt{3} } } \sf{ \longleftarrow Resposta } }$

_____________________________________________________

A figura pode ser repartida em duas ( Rectângulo e trapézio) .

$\red{ \sf{ A~=~ b*h + \dfrac{ (B + b) *h' }{2} } }$

$\iff \sf{ A~=~ 16*10 + \dfrac{ (6 + 6 - 4\sqrt{3})*4}{2} }$

$\iff \sf{ A~=~ 160 + (12 - 4\sqrt{3})*2 }$

$\green{ \iff \boxed{ \boxed{ \sf{ A~=~ 184 - 8\sqrt{3} m^2 } } } \sf{ \longleftarrow Resposta } }$

Espero ter ajudado bastante!)

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

• Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo $\sf ABE$:

$\sf i^2+10^2=(10\sqrt{2})^2$

$\sf i^2+100=100\cdot2$

$\sf i^2+100=200$

$\sf i^2=200-100$

$\sf i^2=100$

$\sf i=\sqrt{100}$

$\sf i=10~m$

$\sf \Rightarrow~\overline{AE}=10~m$

• $\sf j=\overline{CF}-\overline{CD}$

$\sf j=14-10$

$\sf j=4~m$

$\sf \Rightarrow~\overline{DF}=4~m$

• Prolongando $\sf \overline{ED}$ e traçando, por $\sf G$, uma perpendicular a $\sf \overline{ED}$, obtemos o triângulo retângulo $\sf EGH$.

Sejam $\sf \overline{EH}=m$ e $\sf \overline{GH}=n$.

Temos que:

$\sf sen~30^{\circ}=\dfrac{n}{l}$

$\sf \dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{l}$

$\sf l\cdot1=2\cdot4$

$\sf l=8~cm$

$\sf \Rightarrow~\overline{EG}=8~m$

• Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo $\sf EGH$:

$\sf m^2+4^2=8^2$

$\sf m^2+16=64$

$\sf m^2=64-16$

$\sf m^2=48$

$\sf m=\sqrt{48}$

$\sf m=4\sqrt{3}~m$

$\sf \Rightarrow~\overline{EH}=4\sqrt{3}~m$

• $\sf k=16-10-4\sqrt{3}$

$\sf k=6-4\sqrt{3}$

$\sf \Rightarrow~\overline{FG}=(6-4\sqrt{3})~m$

• Perímetro

É a soma dos lados

$\sf P=10+16+14+6-4\sqrt{3}+8+10$

$\sf P=64-4\sqrt{3}$

$\sf \red{P=4\cdot(16-\sqrt{3})~m}$

• Área:

-> Trapézio EDFG

$\sf A_1=\dfrac{(B+b)\cdot h}{2}$

$\sf A_1=\dfrac{(6+6-4\sqrt{3})\cdot4}{2}$

$\sf A_1=\dfrac{(12-4\sqrt{3})\cdot4}{2}$

$\sf A_1=\dfrac{48-16\sqrt{3}}{2}$

$\sf A_1=(24-8\sqrt{3})~m^2$

-> Retângulo ABCD

$\sf A_2=b\cdot h$

$\sf A_2=16\cdot10$

$\sf A_2=160~m^2$

A área da figura é:

$\sf A=A_1+A_2$

$\sf A=24-8\sqrt{3}+160$

$\sf A=184-8\sqrt{3}$

$\sf \red{A=8\cdot(23-\sqrt{3})~m^2}$