Question

Calcular a soma dos inversos das raízes da equação x 3−7 x 2 +4 x−1=0.

Answer 1

Sejam $p$, $q$ e $r$ as três raízes da equação cúbica.

As Relações de Girard para uma equação do 3º grau da forma $ax^3+bx^2+cx+d=0$ são:

$\boxed{p+q+r=-\dfrac{b}{a}}$

$\boxed{pq+pr+qr=\dfrac{c}{a}}$

$\boxed{pqr=-\dfrac{d}{a}}$

A equação do problema é:

$x^3-7x^2+4x-1=0$

Seus coeficientes são $a=1$, $b=-7$, $c=4$ e $d=-1$.

É necessário calcular a soma dos inversos das raízes $p$, $q$ e $r$ da equação:

$S=\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r}$

Podemos aplicar o mínimo múltiplo comum entre os denominadores, e a soma será reescrita como:

$S=\dfrac{pq+pr+qr}{pqr}$

Perceba que há duas Relações de Girard presentes na soma, que agora poderá ser reescrita em função dos coeficientes da equação cúbica:

$S=\dfrac{\bigg(\dfrac{c}{a}\bigg)}{\bigg(-\dfrac{d}{a}\bigg)}=-\dfrac{c}{a}\bigg(\dfrac{a}{d}\bigg)\ \to\ \boxed{S=-\dfrac{c}{d}}$

Substituindo com os valores de $c$ e $d$ do problema, a soma dos inversos das raízes da equação será:

$S=-\dfrac{4}{(-1)}\ \to\ \boxed{S=4}$

Resposta: 4.