Question

Calcular a soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada M = [mij]4x4 definida por mij = (2i - j)^2

Answer 1

Olá, noite ◉‿◉.

Temos que a matriz é dada por:

$\sf M = \underbrace{ [mij]}_{organizac\tilde{a}o} \: \: \underbrace{4 \times 4}_{ordem}</p><p>$

O termo (mij) significa a organização dos elementos dessa matriz, exemplo:

$\bigstar \: \sf m_{11} \rightarrow i = 1 \: \: \: j = 1 \: \bigstar$

Já o termo (4x4) nos indica a ordem dessa matriz, o primeiro número indica a quantidade de linhas e o segundo a quantidade de colunas.

$\bigstar \: \sf( \underbrace{m}_{linha}\times \underbrace{n}_{coluna}) \: \bigstar$

Sabendo isso, vamos escrever a estrutura dessa matriz através do elementos genéricos que são m11, m12.... dependendo da quantidade de linhas e colunas:

• Estrutura:

$\begin{bmatrix} \red{\underbrace{\sf{ m11}}_{i = 1 \: \: j = 1}}& \underbrace{ \sf m12}_{i = 1 \: \: j = 2}& \underbrace{ \sf \: m13}_{i = 1 \: \: j = 3}& \underbrace{\sf \: m14}_{i = 1 \: \: j = 4}\\ \underbrace{ \sf \: m21}_{i = 2 \: \: j = 1}&\red{\underbrace{\sf \: m22}_{i = 2 \: \: j = 2}}& \underbrace{\sf \: m23}_{i = 2 \: \: j = 3}& \underbrace{\sf \: m24}_{i = 2 \: \: j = 4}\\ \underbrace{\sf \: m31}_{i = 3 \: \: j = 1}& \underbrace{ \sf \: m32}_{i = 3 \: \: j = 2}&\red{\underbrace{ \sf \: m33}_{i = 3 \: \: j = 3}}& \underbrace{\sf \: m34}_{i = 3 \: \: j = 4}\\ \underbrace{\sf \: m41} _{i = 4 \: \: j = 1}& \underbrace{ \sf \: m42}_{i = 4\: \: j = 2}& \underbrace{\sf \: m43}_{i = 4 \: \: j = 3}&\red{\underbrace{ \sf \: m44}_{i = 4 \: \: j = 4}}\end{bmatrix} \tiny( \sf \: 4 \times 4)$

Note que a diagonal principal é composta pelos elementos m11, m22, m33 e m44, ou seja, vamos calcular apenas os valores desses termos, pois é o questão quer saber. Para calcular os seus valores usaremos a lei de formação fornecida pela questão:

• Lei de formação:

$\sf mij = (2i - j) {}^{2}$

Agora vamos iniciar os cálculos:

• Cálculos:

Elementos da diagonal principal:

$\sf \: m_{11} = (2i - j) {}^{2} \\ \sf m_{11} = (2.1 - 1) {}^{2} \\ \sf m_{11} = (2 - 1) {}^{2} \\ \sf m_{11} = (1) {}^{2} \\ \boxed{\sf m_{11}= 1} \\ \\ \sf m_{22} = (2i - j) {}^{2} \\ \sf m_{22} = (2.2 - 2) \\ \sf m_{22} = (4 - 2) {}^{2} \\ \sf m_{22} = (2) {}^{2} \\ \boxed{\sf m_{22}= 4} \\ \\ \sf m_ {33} = (2i - j) {}^{2} \\ \sf m_{33} = (2.3 - 3) {}^{2} \\ \sf m_{33} = (6 - 3) {}^{2} \\ \sf m_{33} = (3) {}^{2} \\ \boxed{\sf m_{33} = 9} \\ \\ \sf m_{44 }= (2i - j) {}^{2} \\ \sf m_{44} = (2.4 - 4) {}^{2} \\ \sf m_{44} = (8 - 4) {}^{2} \\ \sf m_{44} = (4) {}^{2} \\ \boxed{ \sf m_{44}= 16}$

• Soma dos elementos:

$\sf S_{dp} = m11 + m22 + m33 + m44 \\ \sf S_{dp} = 1 + 4 + 9 + 16 \\ \boxed{\sf S_{dp} = 30}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️