Question

CALCULAR A MEDIANA DE A NO Δ DE VERTICES A ( 6, 4) B (1,5 ) C(7,5)

Answer 1

Temos os seguinte pontos:

$A ( 6, 4) \: B (1,5 ) \: C(7,5)$

Primeiro vamos lembrar o que é a mediana.

• A mediana é um segmento que parte de um vértice e vai até o ponto médio do lado oposto ao vértice de onde ela partiu.

Portanto, podemos concluir que será necessário encontrarmos o ponto médio referente ao segmento BC, então vamos iniciar fazendo isso.

• O ponto médio é a média aritmética das abscissas e ordenadas dos pontos envolvidos no cálculo, logo podemos retirar disso a seguinte relação:

$X_m = \left(\frac{x_a+x_b}{2},\frac{y_a+y_b}{2}\right)$

Calculando o ponto médio de BC, temos que:

$X_m = \left(\frac{1 +7}{2},\frac{5 + 5}{2}\right) \\ X_m = \left(\frac{8}{2},\frac{10}{2}\right) \\ X_m = \left(4,5\right)$

Como eu não sei se a questão quer a equação da mediana ou o módulo dela, vamos calcular tanto a equação como a distância (módulo).

• Coeficiente angular.

Vamos calcular o coeficiente angular entre o vértice A e o ponto médio BC:

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ \\ m = \frac{5- 4}{4 - 6} \to m = \frac{ 1}{ - 2} \to m = - \frac{1}{2}$

• Equação da reta.

Agora é só escolher um dos pontos e montar a equação através da equação fundamental da reta

$y-y_0=m.(x-x_0) \\ y - 5 = - \frac{ 1}{2}.(x - 4) \: \: \: \: \\ y - 5 = - \frac{x}{2} +2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ y - 7 = - \frac{x}{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 2y - 14 = - x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ x + 2y - 14 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Essa é a equação da mediana.

• Distância (módulo da mediana).

Para encontrar o módulo dela, basta calcular a distância entre os dois pontos:

$d_{A,BC}=\sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^2} \\ d_{A,BC} = \sqrt{(6 - 4) { }^{2} + (4 - 5) {}^{2} } \\ d_{A,BC} = \sqrt{(2 ){}^{2} + ( - 1) {}^{2} } \\ d_{A,BC} = \sqrt{4 + 1} \\ \boxed{ d_{A,BC} = \sqrt{5} \: u.c}$

Espero ter ajudado