Question

Calcular a matriz inversa

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Answer 1

Encontramos a matriz inversa A⁻¹ da matriz quadrada A, de ordem  n  Se multiplicarmos A por X, uma matriz tal que AX = In e XA = In.

Isto quer dizer que, existe uma matriz que quando multiplicamos pela sua inversa, obtemos como resultado a matriz identidade.


Seja a X matriz procurada de ordem 2, ou seja,

$X = \left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)$

Da definição acima, devemos ter

$\begin{pmatrix}2&4\\ 1&6\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a+4c&2b+4d\\ a+6c&b+6d\end{pmatrix}$

E o resultado igualado à matriz identidade:

$\begin{pmatrix}2a+4c&2b+4d\\ \:\:a+6c&b+6d\end{pmatrix}\:=\:\begin{pmatrix}1&0\\ \:0&1\end{pmatrix}$


Então, vamos resolver dois sistemas:

$\left \{ {{2a\:+\:4c\:=\:1} \atop {a\:+\:6c\:=\:0}} \right. \\\\ multiplicando\;\;a\;\;2\ª\;\;linha\;\;por\;\;(-1)\\\\ \left \{ {{2a\:+\:4c\:=\:1} \atop {-a\:-\:6c\:=\:0}}$

Somando as parcelas, temos

$a -2c = 1 \implies a = 1 + 2c\\\\ substituindo\;\; em \;\; a + 6c = 0\\\\ (1+2c) + 6c = 0 \implies 8c = -1 \implies c = - \dfrac{1}{8}$

$substituindo\;\; c = -\dfrac{1}{8}\;\;em\;\;a+6c\\\\ a+6(-\dfrac{1}{8}) = 0 \implies a = \dfrac{6}{8} \\\\ a = \dfrac{3}{4}$


Procedemos do mesmo modo com o segundo sistema:


$\left \{ {{2b\;+\;4d\;=\;0} \atop {b\;+\;6d\;=\;1}} \right. \\\\ multiplicando\;\;a\;\;2\ª\;\;linha\;\;por\;\;(-1)\\\\ \left \{ {{2b\;+\;4d\;=\;0} \atop {-b\;-\;6d\;=\;-1}}$

somando as parcelas

$b-2d=-1 \implies b = -1+2d\\\\ substituindo\; em\; b+6d=1\\\\\\ (-1+2d)+6d = 1 \implies 8d = 1+1 \implies d = \dfrac{1}{4}\\\\\\ substituindo\; d\; em b+6d\\\\ b+6(\dfrac{1}{4}) = 1 \implies b + \dfrac{6}{4} = 1 \implies b = -\dfrac{6}{4} + 1\\\\ b = \dfrac{-6+4}{4} \implies b = -\dfrac{1}{2}$

Assim, resolvidos os sistemas, temos


$a = \dfrac{3}{4},\;\;b=-\dfrac{1}{2},\\\\ c=-\dfrac{1}{8}\;\;e\;\;d=\dfrac{1}{4}$

Então, temos que 

$X = \left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \dfrac{3}{4} & -\dfrac{1}{2} \\- \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{4} \end{array}\right)$

Onde AX = I₂ (I₂ é a matriz identidade)

Vamos verificar se XA = I₂:

$\left(\begin{array}{cc} \dfrac{3}{4} & -\dfrac{1}{2} \\- \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{4} \end{array}\right) \cdot \begin{pmatrix}2&4\\ 1&6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\\\\\\ = \begin{pmatrix}\frac{3}{4}\cdot \:2+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \:1&\frac{3}{4}\cdot \:4+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \:6\\ \left(-\frac{1}{8}\right)\cdot \:2+\frac{1}{4}\cdot \:1&\left(-\frac{1}{8}\right)\cdot \:4+\frac{1}{4}\cdot \:6\end{pmatrix}\\\\ = \begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}$

Logo, a matriz inversa procurada, de fato é


$A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\ \:-\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{pmatrix}$