Question

Calcular a integral dupla abaixo, passo a passo dela, Helpp!!!

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Cálculo da integral dupla

Dada a integral :

$\displaystyle\int^{3}_{x~=0}\red{\int^{3-x}_{y~=0} \sf{ (3 - x - y)dy}dx ~=~V }$

Para fazer o cálculo d'uma integral seja ela dupla, tripla para mais adiante, sempre vamos iniciar o cálculo da parte central ( integral do meio) aí ao poucos saímos até à integral externa.

Então vamos pegar primeiro na integral interna :

$\iff \displaystyle\int^{3 - x}_{y~=~0}\sf{ ( 2 - x - y) dy~=~I' }$

Vamos achar a indefinida e assim usaremos os limites de integração :

$\iff\sf{I'~=~}\Big( \displaystyle\int \sf{2dy -} \int\sf{ x dy -} \int \sf{ydy}\Big) \Big|^{\sf{3 - x}}_{\sf{y~=~0}}$

$\iff \sf{I'~=~ \Big( 2y - xy - \dfrac{1}{2}y^2 \Big)\Big|^{\sf{ 3 - x }}_{\sf{y~=~0}} }$

$\iff \sf{ I'~=~ \Big( 2*(3-x) - x*(3 - x) - \dfrac{1}{2}*(3 - x)^2 \Big) - \Big( 2*0 - x*0 - \dfrac{1}{2}*0^2 \Big) }$

$\iff \sf{ I'~=~ 6 - 2x - 3x + x^2 - \dfrac{(9 - 6x + x^2)}{2} }$

$\iff \sf{ I'~=~ \dfrac{12 - 10x+2x^2}{2} - \dfrac{9 + 6x - x^2}{2} }$

$\iff \sf{ I'~=~ \dfrac{ 12 -10x + 2x^2 - 9 + 6x - x^2 }{2} }$

$\iff \boxed{ \sf{ I'~=~ \dfrac{3 - 4x + x^2}{2} } }$

Agora peguemos na parte externa da integral :

$\sf{ V~=~ } \displaystyle\int^{3}_{x~=~0} \sf{ \dfrac{3 - 4x+x^2}{2} dx}$

$\iff \sf{ V~=~\dfrac{1}{2}}\Big(\displaystyle\int\sf{3dx} - \int\sf{4xdx} + \int \sf{x^2dx}\Big)\Big|^{3}_{x~=~0}$

$\iff \sf{ V~=~\dfrac{1}{2}\Big( 3x - 2x^2 +\dfrac{1}{3}*x^3\Big)\Big|^3_{x~=~0} }$

$\iff \sf{ V~=~ \dfrac{1}{2}\Big(\Big( 3*3-2*3^2+ \dfrac{1}{3}*3^3\Big)-\Big(3*0 -2* 0^2+\dfrac{1}{3}*0^3\Big) }$

$\iff \sf{ V~=~ \dfrac{1}{2}\Big( 9 -18 + \dfrac{27}{3} \Big) ~=~\dfrac{1}{2}(9 - 18+9)}$

$\green{ \iff \boxed{ \sf{ V~=~ 0 } } \sf{ \longleftarrow Resposta } }$

Espero ter ajudado bastante!)