Question

calcular a derivada de f(x)=x^3,pelo calculo direto da razão incremental

Answer 1

$\bullet\;\;$ Calculando a razão incremental:

Fazendo o incremento $\Delta x=h,$ a razão incremental de $f$ é dada por

$\dfrac{\Delta f}{\Delta x}(x,\;h)=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ \\ \\ \dfrac{\Delta f}{h}(x,\;h)=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ \\ \\ \dfrac{\Delta f}{h}(x,\;h)=\dfrac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}$


Podemos desenvolver o binômio $(x+h)^{3}:$

$\dfrac{\Delta f}{h}(x,\;h)=\dfrac{(x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3})-x^{3}}{h}\\ \\ \\ \dfrac{\Delta f}{h}(x,\;h)=\dfrac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}}{h}$


Colocando $h$ em evidência no numerador, temos

$\dfrac{\Delta f}{h}(x,\;h)=\dfrac{h\cdot (3x^{2}+3xh+h^{2})}{h}$


Estamos calculando uma razão incremental, onde desde o início o incremento $\Delta x=h$ aparece no denominador. Logo, temos que $h\neq 0,$ o que nos permite simplificar a expressão obtida:


$\dfrac{\Delta f}{h}(x,\;h)=\dfrac{\diagup\!\!\!\! h\cdot (3x^{2}+3xh+h^{2})}{\diagup\!\!\!\! h}\\ \\ \\ \boxed{\dfrac{\Delta f}{h}(x,\;h)=3x^{2}+3xh+h^{2}}$

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$\bullet\;\;$ Calculando a derivada de $f:$

Por definição, a derivada da função $f$ é o limite da razão incremental, quando o incremento tende a zero:

$\dfrac{df}{dx}\,(x)=\underset{h\to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\Delta f}{h}(x,\;h)\\ \\ \\ \dfrac{df}{dx}\,(x)=\underset{h\to 0}{\mathrm{\ell im}}\;(3x^{2}+3xh+h^{2})$


Estamos calculando o limite de uma função contínua em $h.$ Logo,

$\dfrac{df}{dx}\,(x)=3x^{2}+3x\cdot 0+0^{2}\\ \\ \\ \boxed{\dfrac{df}{dx}\,(x)=3x^{2}}$