Question

Calcular a derivada da função e^x(1+x)^2

Answer 1

A derivada da função dada é igual a

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} f'(x)=e^x(1+x)^2 +e^x (2+2x)\end{gathered}$

Desejamos calcular a derivada da seguinte função:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x)=e^x(1+x)^2\end{gathered}$

Para calcular a derivada da sua função, temos que aplicar duas regras de integração, são elas a derivada do produto e a regra da cadeia, dadas da seguinte forma

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \left( f\cdot g\right)'=f'\cdot g+f \cdot g'\ \ (I)\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \left( f(x)\right)'=f'(x)\cdot (x)'\ \ (II)\end{gathered}$

Aplicando a derivada do produto na sua questão, temos

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} f'(x)=(e^x)'\cdot (1+x)^2 +e^x\cdot \left[(1+x)^2\right]'\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} f'(x)=e^x\cdot (1+x)^2 +e^x\cdot \left[(1+x)^2\right]'\end{gathered}$

Aplicando agora a regra da cadeia, temos

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} f'(x)=e^x\cdot (1+x)^2 +e^x\cdot \left[(1+x)^2\right]'\end{gathered}$

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} f'(x)=e^x\cdot (1+x)^2 +e^x\cdot \left[(2\cdot (1+x)\cdot (1+x)'\right]\end{gathered}$

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore \boxed{f'(x)=e^x\cdot (1+x)^2 +e^x\cdot (2+2x)}\end{gathered}$

     

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