Question

Calcular a área entre as curvas y = x² – 4 e y = x – 3 .      

​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{5\sqrt{5}}{6}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para calcularmos a área entre as duas curvas, utilizaremos integrais.

Sejam as funções $f(x)$ e $g(x)$, limitadas em um intervalo cujos limites são definidos pelos pontos de intersecção das funções.

Devemos esboçar o gráfico das funções e analisar seus comportamentos neste intervalo. Se, em todo o intervalo $[a,~b]\in\mathbb{R}$, $f(x)\geq g(x)$, a área entre as curvas é dada por: $\displaystyle{\int_a^b f(x)-g(x)\,dx$.

Igualando as funções para encontrarmos os limites de integração, temos:

$x^2-4=x-3$

Subtraia $x-3$ em ambos os lados da equação

$x^2-x-1=0$

Utilize a fórmula resolutiva para encontrarmos as soluções:

$x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot 1}$

Calcule as potências e multiplique os valores

$x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}$

Some os valores e separe as soluções

$x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}~~~\mathsf{ou}~~~x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

Conhecendo estes valores, temos o número de ouro: $1-\varphi$ e $\varphi$.

Então, nosso intervalo de integração é $[1-\varphi,~\varphi]$. Analisando o comportamento das funções, vemos que neste intervalo $x-3\geq x^2-4$.

Dessa forma, a área entre as curvas será dada pela integral:

$\displaystyle{\int_{1-\varphi}^{\varphi}x-3-(x^2-4)\,dx$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos semelhantes

$\displaystyle{\int_{1-\varphi}^{\varphi}-x^2+x+1\,dx$

Lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.
• A integral definida de uma função contínua em um intervalo $[a,~b]$ é dada por: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx = F(x)~\biggr|_a^b = F(b)-F(a)$.

Calcule a integral

$-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+x~\biggr|_{1-\varphi}^{\varphi}$

Aplique os limites de integração

$-\dfrac{\varphi^3}{3}+\dfrac{\varphi^2}{2}+\varphi-\left(-\dfrac{(1-\varphi)^3}{3}+\dfrac{(1-\varphi)^2}{2}+1-\varphi\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$-\dfrac{\varphi^3}{3}+\dfrac{\varphi^2}{2}+\varphi+\dfrac{(1-\varphi)^3}{3}-\dfrac{(1-\varphi)^2}{2}-1+\varphi$

Calcule as potências

$-\dfrac{\varphi^3}{3}+\dfrac{\varphi^2}{2}+\varphi+\dfrac{1-3\varphi+3\varphi^2-\varphi^3}{3}-\dfrac{1-2\varphi+\varphi^2}{2}-1+\varphi$

Some as frações

$\dfrac{6\varphi^2-4\varphi^3+12\varphi-7}{6}$

Sabendo que $\varphi^{n+1}=\varphi^n+\varphi^{n-1}$, temos

$\dfrac{6(\varphi+1)-4(2\varphi+1)+12\varphi-7}{6}\\\\\\ \dfrac{10\varphi-5}{6}$

Este é o resultado desta integral, que também pode ser reescrito como:

$\dfrac{5\sqrt{5}}{6}$