Question

Calcular a área determinada pelas curvas de equações y = x² – 3x – 4 ; y = 0 ; x = 0 e x = 5?

Answer 1

$\bmatrix y=x^2-3x-4=0\\y=0\\x=0\,,x=5\end$

ela é limitada por y=0
como a curva é uma parabola com forma de U
no intervalo entre as duas raízes ...ela estará abaixo de y=0

encontrando as raízes
vc vai ter
x'=-1 , x'' =4 -> no intervalo de -1 até 4 a parabola esta abaixo de y=0

a area de 0 a 4 está abaixo y=0, logo vai dar um resultado negativo
calculando a integral dessa area

$A_1= \int\limits^4_0 {(x^2-3x-4)} \, dx = (-\frac{x^3}{3}-3* \frac{x^2}{2}-4x )|^{4}_0\\\\A_1 = -(\frac{4^3}{3}-3* \frac{4^2}{2}-4*4) \\\\ A_1= \frac{56}{3}$

a outra parte da area é a que vai de 4 a 5.. 

$A_2=\int\limits^5_4 {(x^2-3x-4)} \, dx = \frac{x^3}{3}-3* \frac{x^2}{2}-4x |^{5}_4\\\\ A_2=(\frac{5^3}{3}-3* \frac{5^2}{2}-4*5) -( \frac{4^3}{3}-3* \frac{4^2}{2}-4*4)= \frac{17}{6}$

area total 
$A=A_1+A_2 = \frac{56}{3}+ \frac{17}{6} = \frac{47}{2}$