Question

Calcular a área delimitada por f(x)=x2 e g(x)=√x

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

Devemos determinar a área da região delimitada pelas curvas $f(x)=x^2$ e $g(x)=\sqrt{x}$.

Lembre-se que a área de uma região $R$ delimitada pelas curvas das funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas e integráveis em um intervalo fechado $[a,~b]$, onde $f(x)>g(x)$, é calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}$.

Para determinarmos o intervalo no qual a região está delimitada, igualamos as funções e calculamos seus pontos de intersecção:

$x^2=\sqrt{x}$

Eleve ambos os lados da igualdade à segunda potência

$x^4=|x|$

Resolvendo esta equação, temos as soluções:

$x=0~~\bold{ou}~~ x=1$

Dessa forma, o intervalo no qual esta região está compreendida é $[0,~1]$.

Observe, na primeira imagem em anexo, que neste intervalo, $\sqrt{x}>x^2$.

Assim, a área desta região será calculada pela integral:

$\displaystyle{\int_0^1 \sqrt{x}-x^2\,dx}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral é um operador linear, logo vale que $\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.
• O radical $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a linearidade

$\displaystyle{\int_0^1\sqrt{x}\,dx-\int_0^1 x^2\,dx}$

Aplique a regra da potência

$\dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}~\biggr|_0^1$

Some os valores nos expoentes e denominadores

$\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_0^1\\\\\\ \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_0^1$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{2\cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{1^3}{3}-\left(\dfrac{2\cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{0^3}{3}\right)$

Calcule as potências e some os valores

$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\\\\\\ \dfrac{1}{3}~~\bold{u.~a}$

Esta é a área da região compreendida entre estas curvas.