Question

Calcular a área de uma semi- circunferência, utilizando as coordenadas polares, sabendo que a essa semi- circunferência fica na parte superior tem seu centro na origem e 4 de raio.

Answer 1

Resposta:

8π

Explicação passo-a-passo:

O círculo dado é x^2+y^2=16 (centrado na origem de raio 4)

agora, lembremos quais parâmetros temos nas coordenadas polares.

São 2, o primeiro é r que equivale a x^2+y^2 , o segundo é o ângulo Θ que equivale ao ângulo de abertura em relação ao semi-eixo x positivo (olhe a figura em anexo).

Agora, para calcular a integral, vamos ver os limites de integração,

r dentro dessa circunferência equivale ao raio dela, e dentro dela o raio pode variar de 0 até 4 (raio máximo)

Agora olhando para Θ, o ângulo de abertura, por estarmos com somente a parte superior, a abertura que eu posso ter em relação ao semi-eixo x positivo pode variar de 0 até pi (180º) (olhar a figura ajuda).

Assim, a integral dupla ficaria:

$A=\int\limits^\pi_0 \int\limits^4_0 {r} \, dr d\theta\\=\int\limits^\pi_0[\frac{r^2}{2}]^4_0 d\theta\\=\int\limits^\pi_0\frac{4^2}{2}-\frac{0^2}{2} d\theta\\=\int\limits^\pi_08d\theta\\=8(\pi-0)\\=8\pi$

Podemos até fazer a prova real (sabemos calcular a área de uma circunferência de raio r=4; A=π.r^2 = π.4^2=16π, como queremos só metade da circunferencia, a área é a metade (8π), como achamos na integral :)