Question

Calcular a área da região compreendida entre as curvas
=2+1
=2−2,
=−1
=2

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo de áreas.

Devemos encontrar a área da região compreendida entre as curvas $y=x^2+1$ e $y=2x-2$ e delimitada pelas retas $x=-1$ e $x=2$.

Primeiro, lembre-se que a área de uma região compreendida entre as curvas das funções $y=f(x)$ e $y=g(x)$, contínuas e integráveis no intervalo fechado $[a~,b]$, onde $f(x)>g(x)$ é calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R \,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}$.

Observe que as retas verticais $x=-1$ e $x=2$, as quais delimitam a região determinam o intervalo de integração $[-1,~2]$. Ao analisarmos a figura em anexo, conclui-se que, neste intervalo, $x^2+1>2x-2$.

Então, a área da região compreendida entre estas curvas será calculada pela integral:

$\displaystyle{\int_{-1}^2x^2+1-(2x-2)\,dx}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos

$\displaystyle{\int_{-1}^2x^2+1-2x+2\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_{-1}^2 x^2-2x+3\,dx}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: $\displaystyle{\int h(x)\pm j(x)\,dx=\int h(x)\,dx\pm\int j(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}$.
• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot h(x)\,dx=c\cdot\int h(x)\,dx}$.
• A potência $1=x^0$.
• A integral definida de uma função, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b h(x)\,dx=H(x)~\biggr|_a^b=H(b)-H(a)}$.

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int_{-1}^2x^2\,dx-\int_{-1}^22x\,dx+\int_{-1}^23\,dx}$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{\int_{-1}^2x^2\,dx-2\cdot\int_{-1}^2x\,dx+3\cdot\int_{-1}^21\,dx}$

Aplique a regra da potência

$\dfrac{x^{2+1}}{2+1}-2\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+3\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_{-1}^2$

Some os valores nos expoentes e denominadores e multiplique os termos

$\dfrac{x^3}{3}-2\cdot\dfrac{x^2}{2}+3\cdot\dfrac{x^1}{1}~\biggr|_{-1}^2\\\\\\ \dfrac{x^3}{3}-x^2+3x~\biggr|_{-1}^2$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{2^3}{3}-2^2+3\cdot2-\left(\dfrac{(-1)^3}{3}-(-1)^2+3\cdot(-1)\right)$

Calcule as potências e multiplique os termos

$\dfrac{8}{3}-4+6-\left(-\dfrac{1}{3}-1-3\right)\\\\\\ \dfrac{8}{3}+2-\left(-\dfrac{1}{3}-4\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os valores

$\dfrac{8}{3}+2+\dfrac{1}{3}+4\\\\\\ \dfrac{9}{3}+6\\\\\\ 9~\bold{u.~a}$

Esta é a área da região compreendida entre estas curvas e retas.